Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Dénombrement

Cet exercice du Baccalauréat 2024, tiré du Sujet 2 des Centres Étrangers, est une excellente révision des fondamentaux du dénombrement et des probabilités discrètes. Il met en scène une situation classique de tirages successifs avec remise dans un sac opaque contenant des jetons numérotés, permettant d'aborder la modélisation mathématique de l'aléatoire de manière progressive.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser plusieurs notions clés du programme de spécialité mathématiques :

• Techniques de dénombrement : L'exercice commence par le calcul du nombre total de tirages. Il est crucial de reconnaître ici qu'il s'agit de $p$-listes (ordre important, répétition autorisée) car les tirages s'effectuent avec remise. La maîtrise de la formule $n^p$ est indispensable.
• Événements contraires : Une question classique demande de calculer le nombre de tirages avec « au moins une répétition ». La clé de réussite réside dans le passage par l'événement contraire (aucun numéro répété) pour simplifier le calcul, une stratégie récurrente au Bac.
• Loi de probabilité et Espérance : L'élève doit savoir établir la loi d'une variable aléatoire simple. Ici, la distribution est uniforme sur les entiers de 1 à 8. Le calcul de l'espérance mathématique $E(X)$ nécessite l'application rigoureuse de la formule du barycentre pondéré.
• Somme de variables aléatoires : L'introduction de la variable $S$, somme des résultats, permet de tester la propriété de linéarité de l'espérance. Savoir que $E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)$ est un gain de temps considérable par rapport à un calcul direct via la loi de $S$.
• Dénombrement de cas favorables : La dernière partie demande de justifier le nombre de tirages gagnants (somme supérieure à 22). Il s'agit ici de faire preuve de méthode en listant systématiquement les triplets (combinaisons de 8, 7 et 6) qui satisfont l'inéquation, sans en oublier.

En résumé, cet exercice 1 du sujet Centres Étrangers 2 (2024) vérifie la capacité du candidat à modéliser une expérience aléatoire simple et à jongler entre les outils de dénombrement pur et le langage des variables aléatoires.