Analyse du Sujet 1 Amérique du Nord 2024 : Exercice 1

Cet exercice du Baccalauréat de Mathématiques, session 2024 pour la zone Amérique du Nord (Sujet 1), aborde l'un des piliers du programme de Terminale : les probabilités. Le contexte choisi est ludique et moderne, traitant de l'obtention d'objets (rares ou communs) dans un jeu vidéo, ce qui permet de modéliser des situations aléatoires concrètes. L'exercice se découpe en deux parties classiques : une première axée sur le conditionnement et une seconde sur la répétition d'épreuves indépendantes.

Partie A : Probabilités conditionnelles et arbres

La première partie exige de l'élève une maîtrise de la modélisation par arbre pondéré. Il s'agit de traduire les données de l'énoncé (probabilités d'obtenir un objet rare ou commun, et probabilités conditionnelles selon le type d'objet) en une structure visuelle claire. Les questions guident le candidat à travers :

• La construction de l'arbre et le calcul d'une intersection d'évènements.
• L'utilisation de la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité globale d'un événement (ici, tirer une épée).
• Le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (sachant que l'on a tiré une épée, quelle est la probabilité qu'elle soit rare ?), nécessitant une application rigoureuse de la définition $P_E(R) = P(R \cap E) / P(E)$.

Partie B : Loi Binomiale et prise de décision

La seconde partie bascule vers l'étude d'une variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès (objets rares) lors de la répétition de $n=30$ défis. Les mots-clés « tirages successifs » et « indépendants » sont les signaux pour identifier un schéma de Bernoulli.

Les questions demandent de :

• Justifier l'usage de la loi binomiale et donner ses paramètres $n$ et $p$.
• Calculer des probabilités cumulées ($P(X < 6)$) à l'aide de la calculatrice.
• Résoudre des problèmes de seuil, notamment trouver le nombre minimum de tirages $N$ pour garantir une certaine probabilité de succès (au moins un objet rare). Cette dernière question fait souvent appel à la résolution d'inéquations impliquant des logarithmes ($1 - P(X=0) \geqslant 0,95$).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice type du Bac, voici les compétences essentielles à maîtriser :

• Rigueur de notation : Définir clairement les événements ($R$, $E$, etc.) avant de commencer et justifier l'indépendance pour la loi binomiale.
• Lecture de l'énoncé : Ne pas confondre $P_R(E)$ (sachant R) et $P(R \cap E)$ (intersection). L'arbre est votre meilleur allié pour éviter ces confusions.
• Utilisation de la calculatrice : Savoir utiliser les fonctions de distribution binomiale ($BinomFdp$ et $BinomFRep$) est indispensable pour gagner du temps et de la précision.
• Gestion de l'évènement contraire : Pour calculer la probabilité d'« au moins un succès », le réflexe doit être de passer par $1 - P(\text{aucun succès})$. C'est une technique standard pour déterminer la taille d'un échantillon $n$.