Analyse de l'Exercice 2 : Vrai/Faux Justifié - Bac Spécialité Mathématiques 2024

L'exercice 2 du sujet de Polynésie (Sujet 1) de la session 2024 est un classique de l'épreuve de mathématiques : le questionnaire à choix ou à justification (type Vrai/Faux). Ce format est redoutable car il balaie un large éventail de notions du programme de Terminale. L'objectif n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de construire un raisonnement rigoureux pour valider ou infirmer des affirmations mathématiques précises.

Dans cet exercice, cinq affirmations indépendantes sont proposées, touchant à l'analyse de fonctions, aux équations différentielles et au calcul intégral. Voici une analyse détaillée des compétences requises pour réussir cette partie de l'épreuve.

Compétences et clés de réussite

Pour aborder cet exercice avec sérénité, le candidat doit maîtriser plusieurs chapitres fondamentaux de l'analyse :

• Étude de la fonction exponentielle : La première affirmation demande de vérifier le tableau de variations d'une fonction mêlant exponentielle et fonction affine ($f(x) = e^x + x$). La clé réside dans le calcul correct de la dérivée et l'étude de son signe. Rappelez-vous que $e^x$ est toujours strictement positif, ce qui simplifie souvent l'étude du signe de la dérivée sur $\mathbb{R}$.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'affirmation B interroge sur le nombre de solutions d'une équation du type $f(x) = k$. Il est indispensable de savoir lier la stricte monotonie d'une fonction sur un intervalle (donnée par le tableau de variations) et les limites aux bornes pour conclure sur l'existence et l'unicité des solutions.
• Limites et Croissances Comparées : L'affirmation C teste votre capacité à lever une indétermination du type $\infty / \infty$. Ici, la présence simultanée de $\ln(x)$ et de $x^2$ doit immédiatement faire penser au théorème des croissances comparées, qui stipule que la puissance l'emporte sur le logarithme en l'infini. Une factorisation par le terme prépondérant est souvent la méthode attendue.
• Lien entre Fonction et Primitive : L'affirmation D est conceptuelle. Elle demande si une primitive est décroissante. Pour répondre, il ne faut pas chercher à calculer la primitive (souvent impossible explicitement), mais se souvenir du lien fondamental : les variations d'une primitive $K$ dépendent du signe de la fonction $k$. Si $k(x)$ est positif, alors $K$ est croissante.
• Équations Différentielles : Pour l'affirmation E, la méthode la plus efficace n'est pas forcément de résoudre l'équation $(E)$ depuis le début, mais de vérifier si la fonction proposée $g$ satisfait l'égalité $3y' + y = 1$ et la condition initiale. C'est un test de calcul de dérivée et de substitution.
• Intégration par Parties (IPP) : Enfin, l'affirmation F requiert une maîtrise technique de l'intégration par parties. Il faut savoir choisir judicieusement $u(x)$ et $v'(x)$ pour simplifier l'intégrale résiduelle. Ici, dériver $x$ pour obtenir une constante est la stratégie gagnante.

En résumé, cet exercice ne piège pas le candidat sur des calculs complexes, mais vérifie la solidité des définitions et des théorèmes majeurs du cours. Une justification claire, citant les propriétés utilisées, est indispensable pour obtenir la totalité des points.