Analyse du sujet : Métropole 2024 Sujet 1 - Exercice 1

L'exercice 1 du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Métropole, Sujet 1) propose un format classique mais exigeant : le questionnaire de type Vrai ou Faux avec justification. Ce type d'exercice est redouté car une réponse exacte sans justification ne rapporte aucun point, et une justification maladroite peut invalider le raisonnement. Le sujet aborde deux thèmes majeurs du programme de Terminale : l'analyse de fonctions (avec l'exponentielle) et l'étude des suites numériques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire fondamentaux :

• Étude des limites et asymptotes : Savoir lever une forme indéterminée en utilisant les croissances comparées, notamment pour la fonction exponentielle en $+\infty$. Il est crucial de faire le lien entre la valeur d'une limite à l'infini et l'existence d'une asymptote horizontale.
• Équations différentielles : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation du type $y' + y = g(x)$. La méthode la plus efficace n'est pas nécessairement de résoudre l'équation, mais de dériver la fonction proposée, d'injecter l'expression dans le membre de gauche et de vérifier l'égalité.
• Convergence des suites : Comprendre la distinction fine entre une suite bornée et une suite convergente. Le théorème des gendarmes est souvent mal interprété ; ici, il faut analyser si les conditions de l'encadrement suffisent à garantir la convergence.
• Monotonie des suites : Utiliser les propriétés des suites croissantes et décroissantes pour établir des inégalités sur l'ensemble des termes, en lien avec leur premier terme.

Partie 1 : Fonction exponentielle et équation différentielle

La première partie s'intéresse à la fonction $f(x) = 5xe^{-x}$. L'affirmation 1 teste la capacité de l'élève à calculer une limite. L'expression présente une forme indéterminée qu'il faut savoir traiter par croissance comparée. Si la limite est finie, l'interprétation graphique en termes d'asymptote horizontale est immédiate.

Pour l'affirmation 2, il s'agit de calcul purement algébrique. La dérivation de $f$, qui est un produit de la forme $u \times v$, demande de la rigueur. Une erreur de signe dans la dérivée de $e^{-x}$ est une faute fréquente à éviter.

Partie 2 : Suites et encadrement

La seconde partie est plus conceptuelle. L'affirmation 3 est un piège classique : le fait qu'une suite soit coincée entre deux autres suites qui convergent vers des limites distinctes ($-1$ et $1$) ne permet pas de conclure directement sur sa convergence. Il faut se demander si la suite $(v_n)$ pourrait osciller indéfiniment à l'intérieur de cet intervalle.

L'affirmation 4 fait appel à la définition de la croissance et de la décroissance. Si $(u_n)$ est croissante, comment se situe $u_n$ par rapport à $u_0$ ? De même pour $(w_n)$ par rapport à $w_0$. En combinant ces informations avec l'encadrement initial $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$, la réponse devient logique si l'on écrit correctement les inégalités successives.

En résumé, cet exercice de Métropole 2024 Sujet 1 demande moins de calculs lourds que de compréhension fine des définitions et des théorèmes d'analyse.