Analyse de l'exercice : Géométrie vectorielle et modélisation 3D

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Suède, Sujet 1) propose une mise en situation concrète autour d'un spectacle de voltige aérienne. Il s'agit d'un problème classique de géométrie dans l'espace où l'élève doit manipuler des coordonnées, des distances et des représentations paramétriques de droites pour analyser les trajectoires de deux avions.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est nécessaire de maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de Terminale :

• Le calcul de distances dans un repère orthonormé : La première question demande de comparer des temps de parcours. Sachant que la vitesse est constante et identique pour les deux avions, le problème se ramène à calculer et comparer les longueurs des segments $[OA]$ et $[BC]$ à l'aide de la formule de la norme d'un vecteur.
• La représentation paramétrique d'une droite : C'est le cœur de l'exercice. Chaque trajectoire rectiligne est assimilée à une droite. L'élève doit être capable de déterminer le vecteur directeur de chaque trajectoire (vecteur vitesse ou vecteur déplacement) et d'écrire le système d'équations paramétriques associé ($x(t), y(t), z(t)$).
• L'intersection de deux droites : La question sur le croisement des trajectoires implique de résoudre un système d'équations. Il faut chercher s'il existe des paramètres (souvent notés $t$ et $t'$) pour lesquels les coordonnées des points des deux droites sont identiques. La rigueur dans la résolution du système est cruciale pour déterminer si les droites sont sécantes ou non coplanaires.
• Distinction entre intersection et collision : C'est le piège classique de ce type d'exercice. Deux trajectoires peuvent se couper (point géométrique commun), mais les objets mobiles peuvent passer par ce point à des instants différents. La dernière question nécessite donc d'interpréter le paramètre temporel $t$ dans les équations paramétriques pour vérifier la simultanéité du passage au point d'intersection.

Conseils méthodologiques

Dans ce type de problème modélisé, il est essentiel de bien lire les données initiales (positions de départ, vitesses). Une erreur fréquente consiste à confondre le paramètre géométrique d'une droite et le temps physique. Ici, l'unité de temps et la vitesse donnée permettent de lier directement le paramètre $t$ à la position. Assurez-vous de bien justifier si les droites sont sécantes (elles se coupent en un point unique) avant de conclure sur le risque de collision (elles se coupent au même instant $t$).