Analyse de l'exercice 3 : Amérique du Nord 2024 (Sujet 2)

Cet exercice du Baccalauréat 2024, session Amérique du Nord (Sujet 2), propose une étude classique mais complète des suites numériques, couplée à l'utilisation de la fonction logarithme népérien et à une application algorithmique en Python. Il est représentatif des attentes pour la spécialité mathématiques en Terminale, demandant aux élèves de jongler entre l'analyse de fonctions et les propriétés des suites.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Étude de variations d'une fonction : La première étape consiste à étudier une fonction polynôme du second degré sur un intervalle borné. Il faut maîtriser le calcul de la dérivée et l'analyse de son signe pour déduire la croissance de la fonction, condition nécessaire pour la suite de l'exercice.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'analyse de la suite $(u_n)$. L'élève doit savoir rédiger rigoureusement une démonstration par récurrence pour prouver simultanément que la suite est bornée (entre 0 et 1) et strictement croissante. La structure Initialisation - Hérédité - Conclusion doit être parfaitement respectée.
• Théorème de convergence monotone : Une fois la croissance et la majoration établies, il faut invoquer ce théorème pour justifier l'existence d'une limite finie. La recherche de la valeur de cette limite se fait par la résolution d'une équation de point fixe $g(x) = x$.
• Changement de suite et Logarithme : La seconde partie introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ liée à $(u_n)$ par une relation logarithmique. La clé est d'utiliser les propriétés algébriques du logarithme, notamment $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a^n) = n\ln(a)$, pour démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Cela permet d'expliciter $(v_n)$ puis de revenir à l'expression de $(u_n)$.
• Algorithmique et Python : La dernière question demande de compléter un script de recherche de seuil. Il est impératif de comprendre la logique d'une boucle while (tant que) et de savoir traduire la relation de récurrence $u_{n+1} = g(u_n)$ en langage informatique.

Cet exercice est un excellent entraînement pour vérifier la maîtrise des liens entre suites et fonctions, ainsi que la manipulation des logarithmes dans un contexte de modélisation discrète.