Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet 2 de Métropole 2024 (sujet dévoilé) est un classique de l'analyse de suites numériques dépendant d'un paramètre réel $a$. Il mobilise un large éventail de compétences, allant du calcul algébrique pur à l'algorithmique, en passant par l'utilisation de fonctions de référence comme le logarithme népérien. Voici les points clés pour réussir cette épreuve.

1. Manipulation algébrique et factorisation

La première partie de l'exercice demande une certaine agilité dans le calcul littéral. Il est essentiel de savoir passer d'une forme développée à une forme factorisée pour étudier le signe d'une expression. L'identité remarquable $(a-b)^2$ est souvent sous-jacente, mais ici, c'est la capacité à relier $u_{n+1}$ à $u_n$ sous forme de produits qui permet de préparer le terrain pour le raisonnement par récurrence. Une maîtrise des factorisations de polynômes du second degré est donc requise.

2. Le raisonnement par récurrence

C'est un pilier du programme de Spécialité Mathématiques. Dans la partie A, il s'agit de démontrer une propriété d'inégalité ($u_n < 2$). La rédaction doit être rigoureuse :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang 0.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $n$ et démontrer qu'elle l'est au rang $n+1$. C'est ici qu'il faut utiliser les variations de la fonction associée ou les égalités établies précédemment.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Ensuite, l'étude de la convergence (suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée) permet d'utiliser le théorème de convergence monotone pour justifier l'existence d'une limite.

3. Algorithmique et langage Python

La partie B intègre une lecture de code Python. Il ne s'agit pas de programmer, mais d'interpréter le fonctionnement d'une boucle for et l'affectation de variables. L'élève doit être capable de simuler l'exécution du programme "à la main" (trace d'exécution) pour comprendre que le programme calcule les termes successifs de la suite. La reconnaissance d'une suite constante (cas $a=2$) est intuitive à travers les résultats numériques.

4. Suites auxiliaires et fonction logarithme

La partie C introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par un logarithme. Cette technique permet souvent de transformer une suite récurrente complexe en une suite géométrique simple. Les compétences clés incluent :

• L'utilisation des propriétés algébriques du logarithme népérien : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et surtout $\ln(u^k) = k\ln(u)$.
• La reconnaissance d'une suite géométrique $v_{n+1} = q \times v_n$.
• Le passage de l'expression explicite de $v_n$ à celle de $u_n$ en utilisant la fonction exponentielle (réciproque du logarithme).

5. Étude de limites avec paramètres

La question finale est une synthèse qui demande de discuter la limite selon les valeurs du paramètre $a$. Cela nécessite une excellente compréhension du comportement des suites géométriques ($q^n$) à l'infini selon que $q > 1$, $q = 1$ ou $0 < q < 1$, et de composer ces limites avec les fonctions exponentielle et logarithme. C'est une question discriminante qui teste la finesse de l'analyse mathématique de l'élève.