Analyse du Sujet de Bac Polynésie 2024 (Sujet 2) - Exercice 3

Cet exercice du Baccalauréat de Mathématiques, session 2024 pour la zone Polynésie (Sujet 2), propose une étude classique et complète liant l'analyse fonctionnelle et les suites numériques. Il s'agit d'un exercice type pour l'épreuve de spécialité, demandant aux élèves de mobiliser des connaissances transversales allant de l'algorithmique à l'étude de la convergence.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs points clés du programme de Terminale :

• Compréhension des algorithmes (Python) : La première partie interroge sur la lecture d'un script Python. Il est essentiel de reconnaître la structure d'une boucle for et le rôle des variables accumulatrices (ici la variable S). L'élève doit être capable d'interpréter le résultat renvoyé par la fonction (une somme de termes) et de modifier le code pour calculer une moyenne, ce qui nécessite de diviser la somme finale par le nombre de termes.
• Étude de fonction avec Logarithme Népérien : L'exercice introduit une fonction auxiliaire $f(x) = x - \ln(x/4)$. La maîtrise de la dérivation des fonctions composées (notamment $\ln(u)$) est indispensable pour dresser le tableau de variations. Une attention particulière doit être portée au signe de la dérivée pour justifier la décroissance ou la croissance, ainsi qu'au calcul exact de l'extremum.
• Lien entre Fonction et Suite : La suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Il faut comprendre comment les propriétés de la fonction $f$ (notamment le fait que $f([1; +\infty[) \subset [1; +\infty[$) influencent le comportement de la suite.
• Raisonnement par Récurrence : Une compétence centrale de l'exercice est la démonstration par récurrence. Ici, il s'agit de prouver une double inégalité $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. Cette étape est cruciale car elle permet d'établir à la fois que la suite est minorée et qu'elle est décroissante. La rigueur de la rédaction (initialisation, hérédité, conclusion) est ici primordiale.
• Théorème de Convergence et Limite : Enfin, l'exercice mène vers la conclusion classique : toute suite décroissante et minorée converge. La détermination de la limite $\ell$ repose sur la résolution de l'équation du point fixe $f(x) = x$. La capacité à résoudre des équations logarithmiques simples (du type $\ln(A) = 0$) est requise pour trouver la valeur exacte de la limite.

En résumé, cet exercice 3 du sujet Polynésie 2 vérifie la capacité de l'élève à synthétiser les outils d'analyse pour étudier la dynamique d'une suite numérique. Une bonne gestion du calcul littéral avec les logarithmes et une rédaction soignée de la récurrence sont les garants d'une note maximale.