Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024, issu du Sujet 1 des Centres Étrangers, propose une modélisation classique reliant l'analyse de fonctions et les probabilités. Il s'agit d'un exercice type "Bayésien" appliqué à un contexte médical ou de contrôle (ici, le dopage), très fréquent dans les sujets récents.

1. Maîtriser le calcul fonctionnel (Partie A)

La première partie est purement analytique et sert de support à la modélisation ultérieure. Les compétences requises sont :

• Dérivation d'un quotient : La fonction $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$. Il est impératif de maîtriser la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ sans faire d'erreur de signe ou de développement.
• Étude de signe : Une fois la dérivée calculée, l'élève doit justifier le signe du numérateur et du dénominateur (souvent un carré, donc positif) pour en déduire les variations de la fonction sur l'intervalle donné $[0; 1]$.

2. Modéliser une situation probabiliste (Partie B)

La seconde partie demande de traduire un énoncé textuel en langage mathématique. Les points clés sont :

• Construction de l'arbre pondéré : Il faut identifier correctement les événements (Dopé/Non dopé, Test positif/négatif) et placer les probabilités conditionnelles sur les branches secondaires. La variable $x$ représente la probabilité de la première branche.
• Utilisation de la formule des probabilités totales : Pour calculer $P(T)$, l'élève doit savoir sommer les probabilités des chemins menant à l'événement $T$ (intersection des branches).
• Calcul de probabilité conditionnelle inverse : La question centrale est de calculer $P_T(D)$ (probabilité d'être dopé sachant que le test est positif). C'est ici que le lien avec la Partie A se fait : l'expression obtenue doit correspondre à $f(x)$.

3. Interprétation et prise de décision

Les dernières questions font appel à l'esprit critique et à la capacité d'utiliser l'outil mathématique pour résoudre un problème concret :

• Résolution d'inéquation : Trouver à partir de quel taux de dopage le test est fiable à 90% revient à résoudre $f(x) \ge 0,9$.
• Argumentation : La dernière question demande d'utiliser le sens de variation de $f$ (établi en Partie A) pour expliquer l'impact d'un ciblage des sportifs. Il faut comprendre que si la proportion de dopés $x$ augmente, la fiabilité du test (valeur prédictive positive) augmente également car $f$ est croissante.

En résumé, cet exercice teste la capacité à passer d'un modèle abstrait (fonction) à une application concrète (probabilités), une compétence majeure attendue en Terminale.