Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths - Polynésie (Sujet 2) - Mai 2022

Le sujet de Polynésie, session de mai 2022 (Sujet 2), est un excellent entraînement pour les élèves préparant le Baccalauréat. Il couvre un spectre large du programme de Terminale avec un équilibre entre analyse pure, modélisation par les probabilités et les suites, et géométrie analytique. Voici une analyse détaillée exercice par exercice pour comprendre les attentes et déjouer les pièges.

Exercice 1 : Le QCM (Fonctions et Primitives)

Ce questionnaire à choix multiples (7 points) balaie plusieurs notions fondamentales de l'analyse. Il ne demande aucune justification, mais nécessite une grande rigueur au brouillon.

• Dérivation et Logarithme : La première question teste la dérivée d'un produit $u \times v$ impliquant $\ln(x)$. Attention à ne pas oublier la dérivée de la constante.
• Limites et Croissance comparée : Une limite en 0 pour une fonction comportant $x^2 \ln(x)$. C'est une forme indéterminée classique qui se résout par croissances comparées.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Pour trouver le nombre de solutions de $f(x)=0$, il faut étudier les variations du polynôme de degré 3.
• Primitives composées : C'est le piège classique ! Si $H$ est une primitive de $h$, quelle est la primitive de $h(ax+b)$ ? Il ne faut pas oublier le facteur correctif $1/a$.
• Tangente et Exponentielle : Application directe de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec la fonction $xe^x$.
• Inéquation et Logarithme : Résolution de $0,2^n < 0,001$. Le passage au logarithme népérien renverse-t-il l'inégalité ? Oui, car $\ln(0,2)$ est négatif.

Exercice 2 : Probabilités et Loi Binomiale

Cet exercice (7 points) est contextuel (contrôle qualité de casques audio). Il est divisé en deux parties très classiques.

• Probabilités conditionnelles : La première partie demande de construire un arbre pondéré. Les calculs reposent sur la formule des probabilités totales. Une petite subtilité : on demande de calculer $P_D(C)$ (probabilité d'être contrefait sachant qu'il a un défaut), ce qui nécessite d'inverser l'arbre par le calcul.
• Loi Binomiale : La deuxième partie modélise la répétition de l'expérience. Les élèves doivent justifier les paramètres $(n, p)$.
• Seuil de probabilité : La dernière question est un grand classique : trouver $n$ pour que $P(X \ge 1) > 0,99$. La méthode consiste à passer par l'événement contraire $1 - P(X=0)$ et à résoudre l'inéquation à l'aide du logarithme.

Exercice 3 : Suites, Fonctions et Python

Un exercice de modélisation (évolution d'une population d'oiseaux) qui mélange suites récurrentes et étude de fonction (7 points).

• Étude de la fonction support : L'élève doit étudier $f(x)$ sur un intervalle donné. La résolution de $f(x)=x$ est cruciale car elle donne les points fixes, candidats pour être la limite de la suite.
• Raisonnement par récurrence : Il faut démontrer une double inégalité $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 100$. Cela prouve à la fois que la suite est bornée et qu'elle est croissante.
• Théorème de convergence monotone : Puisque la suite est croissante et majorée, elle converge. La limite est forcément l'un des points fixes trouvés plus tôt.
• Algorithmique : La question sur la fonction Python seuil(p) demande de comprendre pourquoi la boucle while ne s'arrête pas si on demande d'atteindre exactement la limite (100). C'est une question fine sur le comportement asymptotique : la suite tend vers 100 sans jamais l'atteindre (mathématiquement) ou à cause de la représentation flottante (informatiquement).

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Cet exercice (7 points) propose deux méthodes pour calculer une distance dans un cube, ce qui permet de vérifier ses résultats.

• Méthode 1 : Analytique (Coordonnées) : On utilise un repère orthonormé associé au cube. Il faut manipuler les produits scalaires pour démontrer l'orthogonalité d'une droite et d'un plan, trouver l'équation cartésienne du plan $(AIG)$ et utiliser la représentation paramétrique de la droite pour trouver le projeté orthogonal.
• Méthode 2 : Volumes : Cette approche est plus géométrique. Elle repose sur l'égalité des volumes d'un tétraèdre calculés de deux manières différentes (en changeant la base et la hauteur). C'est une technique puissante pour déduire une hauteur (donc une distance) quand on connaît le volume et l'aire de la base.

Conclusion

Ce sujet 2 de Polynésie 2022 est très formateur. Il ne présente pas de difficulté calculatoire majeure mais exige une parfaite maîtrise des théorèmes de convergence (suites), des propriétés de l'exponentielle/logarithme et de la vision dans l'espace.