Introduction au sujet Métropole Antilles-Guyane Septembre 2022

Ce sujet de la session de remplacement de septembre 2022 (souvent appelée session de secours) est un excellent entraînement pour les élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Il est équilibré, classique dans sa structure, mais demande une rigueur rédactionnelle importante. Il couvre les quatre grands piliers du programme : l'analyse de fonctions, les suites numériques, les probabilités et la géométrie dans l'espace.

L'épreuve est conçue pour tester la capacité de l'élève à mobiliser des connaissances transversales, notamment dans l'exercice 3 qui lie intimement l'étude d'une fonction logarithme à la convergence d'une suite définie par récurrence.

Exercice 1 : Le QCM de "balayage"

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) noté sur 7 points. C'est un exercice de rapidité et de précision où aucune justification n'est demandée, mais où le brouillon est indispensable.

Les notions abordées :

• Limites et Asymptotes : Analyse d'une fonction exponentielle rationnelle. Il faut savoir factoriser par le terme dominant en l'infini.
• Convexité : Une lecture graphique pure. Le piège ici est de bien lire la courbe de la dérivée seconde $f''$ et non celle de $f$ ou $f'$. Il faut associer le signe de $f''$ à la convexité de $f$.
• Suites arithmético-géométriques : Transformation classique d'une suite pour en étudier la nature.
• Théorème des gendarmes : Une application directe pour trouver la limite d'une suite encadrée.
• Primitives : Recherche de primitive pour une fonction de la forme $u' \times v + u \times v'$ ou intégration par parties implicite (forme $x^2 \ln x$).

Le conseil du prof : Ne vous fiez pas à l'intuition seule. Pour la question sur la convexité, tracez un tableau de signes de $f''$ au brouillon pour en déduire les variations de $f'$ et la convexité de $f$.

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Un exercice très concret sur la fréquentation touristique (musée et grotte). Il est structuré en deux temps : les probabilités conditionnelles puis l'étude d'une variable aléatoire.

Points clés et difficultés :

• L'arbre de probabilité : La difficulté réside dans la traduction de l'énoncé. On donne la probabilité de l'intersection des événements contraires ($p(\overline{M} \cap \overline{G})$). L'élève doit utiliser la formule des probabilités totales ou les propriétés de l'arbre pour retrouver les probabilités manquantes sur les branches.
• Variable aléatoire (Espérance) : On définit le coût de la visite. Il s'agit de dresser la loi de probabilité (tableau valeurs/probabilités) puis de calculer l'espérance $E(T)$. Une question "inversée" demande ensuite de trouver le nombre de clients nécessaire pour un chiffre d'affaires donné, ce qui demande une bonne maîtrise de la linéarité de l'espérance.
• Loi Binomiale : La dernière question bascule sur un échantillon de 100 clients. C'est une application classique de la loi binomiale (répétition, indépendance, succès/échec) pour calculer une probabilité cumulée $P(X \geq k)$.

Exercice 3 : Fonctions et Suites (Le cœur du sujet)

C'est l'exercice d'analyse par excellence, mêlant logarithme népérien, exponentielle et suites. Il vaut 7 points et demande une rédaction soignée.

Partie A : Étude de fonction

On étudie $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. C'est une fonction de référence en Terminale (croissance comparée).

• Calcul de dérivée : La forme $\frac{u}{v}$ doit être dérivée sans erreur de signe.
• Variations : Le signe de la dérivée dépend directement de $1 - \ln x$.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Utilisé ici pour justifier l'existence de solutions à l'équation $f(x)=k$. Attention à bien vérifier les conditions d'application (continuité, monotonie stricte).

Partie B : Suite récurrente $u_{n+1} = g(u_n)$

Cette partie est plus subtile. On introduit une fonction $g(x) = e^{x/4}$ et une suite associée.

• Récurrence : Il faut démontrer l'inégalité $u_n \leq u_{n+1} \leq e$. Cela prouve à la fois que la suite est croissante et majorée.
• Théorème de convergence monotone : Puisque la suite est croissante et majorée, elle converge vers une limite $\ell$.
• Le lien final : La question cruciale demande de montrer que la limite $\ell$ est solution de $f(x) = 1/4$. L'élève doit comprendre que résoudre $e^{x/4} = x$ revient à passer au logarithme pour retrouver l'expression de la fonction $f$ de la partie A. C'est toute la beauté de l'exercice : utiliser l'étude de la partie A pour résoudre la limite de la partie B.

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Un exercice très complet qui balaye les représentations paramétriques, les équations cartésiennes et les calculs de volumes.

Les compétences évaluées :

• Représentation paramétrique de droite : Savoir passer de deux points à un vecteur directeur puis au système d'équations.
• Équation cartésienne de plan : L'élève doit montrer qu'un vecteur est normal au plan (via le produit scalaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan) pour vérifier l'équation proposée.
• Projeté orthogonal et distance : On demande de trouver les coordonnées du projeté orthogonal $H$. Cela nécessite de résoudre un système paramétrique en utilisant l'orthogonalité. La distance point-plan se déduit ensuite de la norme du vecteur $\overrightarrow{GH}$.
• Volume du tétraèdre : Application de la formule $\frac{1}{3} \times Base \times Hauteur$. Ici, la base est un triangle rectangle (à démontrer via produit scalaire) et la hauteur est la distance calculée précédemment.

Conclusion : Ce sujet de Métropole 2022 est un "classique" très formateur. Il ne présente pas de piège vicieux mais exige une maîtrise solide des théorèmes fondamentaux (TVI, Convergence monotone, Probabilités totales, Orthogonalité).