Analyse du Sujet de Bac Spécialité Mathématiques - Nouvelle-Calédonie 2022 (Jour 2)

Le sujet de Nouvelle-Calédonie du 27 octobre 2022 (Jour 2) est un excellent entraînement pour le Baccalauréat. Il couvre de manière équilibrée les piliers du programme de Terminale : les probabilités conditionnelles et discrètes, l'analyse de fonctions avec logarithme, la géométrie vectorielle dans l'espace et un QCM transversal sur les suites et primitives. Voici une analyse détaillée pour vous aider à réviser.

Exercice 1 : Probabilités (Thème Sportif)

Cet exercice contextualisé autour du basket-ball est divisé en trois parties classiques :

• Probabilités conditionnelles : On commence par un arbre pondéré standard. La difficulté est faible, il s'agit de bien traduire l'énoncé (tirs à 2 points vs 3 points, réussite ou échec). La formule des probabilités totales est requise pour calculer la probabilité globale de réussite.
• Loi Binomiale : La répétition de 10 tirs indépendants introduit une variable aléatoire $X$. Il faut justifier la loi binomiale (succès/échec, indépendance, répétition) et préciser les paramètres $n=10$ et $p=0,35$. Attention aux calculs de probabilités cumulées ($P(X \ge 4)$ et $P(X \le 4)$).
• Recherche de seuil : La dernière question demande de trouver le nombre minimal $n$ de tirs pour avoir au moins un succès avec une probabilité de 0,99. C'est une inéquation classique de type $1 - (1-p)^n \ge 0,99$ qu'il faut savoir résoudre avec le logarithme.

Exercice 2 : Étude de Fonction et Python

Un exercice d'analyse pur sur la fonction $f(x) = x \ln(x) - x - 2$.

• Dérivation et Convexité : L'élève doit dériver un produit ($uv'$). Le sujet guide ensuite vers la dérivée seconde pour prouver la convexité. C'est un point clé pour déterminer la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
• Limites et Variations : Pas de forme indéterminée majeure, mais il faut connaître la limite de croissance comparée en 0 ($x \ln x \to 0$).
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : On cherche une solution unique $\alpha$ à $f(x)=0$. L'utilisation de la calculatrice est nécessaire pour l'encadrement.
• Algorithmique : Le script Python est un algorithme de seuil simple. Il cherche la première valeur pour laquelle la fonction devient positive (liée à la racine $\alpha$ trouvée précédemment).

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace

Cet exercice modélise une maison (pavé droit + pyramide) et demande une bonne vision dans l'espace.

• Coordonnées et Volume : Le repère n'est pas unitaire sur tous les axes (défini par des fractions de vecteurs). Il faut être vigilant en donnant les coordonnées des points. Le calcul de volume est une application directe de la formule.
• Équation de plan : On vérifie d'abord qu'un vecteur est normal, puis on en déduit l'équation cartésienne du plan (EFS).
• Représentations paramétriques : L'exercice met en scène une antenne (segment) et un oiseau (trajectoire rectiligne). Le cœur du problème est de déterminer la position relative de deux droites (sécantes ou non coplanaires) en résolvant un système paramétrique. C'est souvent la question discriminante du sujet.

Exercice 4 : QCM (Suites et Primitives)

Un questionnaire à choix multiples qui demande de la rigueur. 6 questions sans justification demandée, mais le brouillon est indispensable.

• Suites : Analyse de convergence d'une suite alternée $\frac{(-1)^n}{n+1}$, relation entre deux suites ($v_n$ et $w_n$) via l'exponentielle, et étude d'une suite arithmético-géométrique.
• Variations de suite : Une question subtile sur le signe de $b_{n+1} - b_n$ via une étude de logarithme.
• Fonctions et Primitives : Une question sur les asymptotes de $\frac{e^x}{x}$ et enfin, l'identification d'une primitive de la forme $u'e^u$ (à un coefficient près).