Analyse du Sujet Bac Spécialité Maths - Asie 17 Mai 2022 (Jour 1)

Le sujet du Baccalauréat de Spécialité Mathématiques tombé en Asie le 17 mai 2022 est un excellent entraînement pour les élèves préparant la session de métropole. Il s'agit d'un sujet équilibré, couvrant les quatre piliers majeurs du programme de Terminale : les Probabilités, les Suites (avec Python), la Géométrie dans l'espace et l'Analyse de fonctions (Logarithme). Voici une analyse détaillée et pédagogique pour comprendre les attentes et les pièges de ce sujet.

Exercice 1 : Probabilités et Variables Aléatoires (7 points)

Cet exercice est un classique des probabilités conditionnelles mêlant un scénario ludique (roue et sac de jetons) à une modélisation par variable aléatoire.

• Le Scénario : L'élève doit gérer deux étapes : faire tourner une roue (choix du protocole de tirage) puis tirer des jetons. C'est une structure d'arbre pondéré classique.
• Points de vigilance :
  • Le calcul de la probabilité totale $P(G)$ nécessite l'utilisation de la formule des probabilités totales en s'appuyant sur la partition de l'univers définie par la roue.
  • La question sur l'indépendance des événements $B$ et $G$ demande de comparer $P(B \cap G)$ avec $P(B) \times P(G)$. Une erreur fréquente est de répondre à l'intuition sans faire le calcul.
• La Loi Binomiale : La répétition de l'expérience (10 parties) introduit naturellement une loi binomiale. Les calculs demandés ($P(X=3)$ et $P(X \geqslant 4)$) exigent une bonne maîtrise de la calculatrice.
• Suites et limites : La dernière partie généralise le problème à $n$ parties pour étudier la probabilité de gagner « au moins une fois ». C'est une inéquation classique faisant intervenir les logarithmes pour isoler $n$.

Exercice 2 : Suites Numériques et Modélisation (7 points)

Cet exercice se découpe en deux parties : un modèle discret (suites) et un modèle continu (fonctions), appliqués à un contexte médical (pharmacocinétique).

• Partie A (Suites) : On retrouve une suite arithmético-géométrique ($u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$).
  • La démonstration par récurrence pour prouver la majoration et la croissance est un incontournable.
  • Python : L'algorithme de seuil est standard. L'élève doit comprendre que la boucle while tourne tant que la condition n'est pas satisfaite (ici tant que la concentration est trop faible).
  • Le passage à une suite géométrique auxiliaire $(v_n)$ permet d'obtenir la forme explicite de $u_n$.
• Partie B (Fonctions) : Le modèle devient continu avec une fonction faisant intervenir l'exponentielle ($e^{-0,2t}$). La comparaison des résultats entre le modèle discret et continu permet de tester l'esprit critique du candidat.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (7 points)

L'exercice se place dans un cube avec un repère orthonormé imposé. C'est souvent l'exercice préféré des élèves car très méthodique.

• Nature du triangle : L'utilisation de la formule de distance dans l'espace permet de prouver que le triangle est isocèle.
• Équation de plan : La question guide l'élève en proposant un vecteur normal $\vec{u}$. Il faut vérifier que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR), puis déterminer l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$.
• Projeté orthogonal : C'est la partie technique. Il faut caractériser le point L comme intersection de la droite (passant par E et dirigée par le vecteur normal) et du plan (PQR).
• Volume et Aire : L'exercice se termine par un calcul de volume de tétraèdre. L'astuce ici est d'utiliser ce volume pour déduire l'aire de la base (PQR), inversant la logique habituelle.

Exercice 4 : Analyse de Fonction Logarithme (7 points)

Un exercice d'analyse pure, très complet, mêlant lecture graphique et calcul algébrique.

• Lecture Graphique : Le début demande de déterminer l'équation d'une tangente et des images par lecture simple, testant la compréhension géométrique de la dérivée (coefficient directeur).
• Étude de fonction : La fonction $f(x) = \ln(x^2+1) + C$ présente des propriétés intéressantes :
  • Parité : La présence du carré $x^2$ doit immédiatement faire penser à une fonction paire (symétrie axiale).
  • Limites : Attention aux formes indéterminées, bien que dans ce cas, la composition de limites soit directe.
  • Dérivée : La forme $\ln(u)$ se dérive en $u'/u$. C'est un calcul technique où il ne faut pas oublier le facteur $2x$ au numérateur.
• Convexité : La dernière partie demande de calculer la dérivée seconde. Le signe de $f''(x)$ dépendra ici du numérateur $1-x^2$, ce qui permet de trouver les points d'inflexion (changement de concavité).

Bilan et Conseils

Ce sujet "Asie 2022" est un excellent baromètre. Il n'y a pas de piège conceptuel majeur, mais il exige une rigueur constante dans la rédaction (récurrence, justification d'indépendance, calculs de dérivées). Pour réussir, l'élève doit montrer qu'il maîtrise les automatismes de calcul tout en comprenant le sens des objets mathématiques manipulés.