Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths - Métropole (Sujet 2) Juin 2025

Ce sujet de la session de juin 2025 pour la métropole (Sujet 2) propose un équilibre intéressant entre les grands classiques du programme de Terminale et quelques notions plus pointues, notamment en probabilités. Il s'adresse à des élèves ayant une maîtrise solide du calcul algébrique et une bonne capacité d'abstraction, particulièrement pour l'exercice de géométrie et l'étude de la loi des grands nombres.

Exercice 1 : Probabilités et Variables Aléatoires (5 points)

Cet exercice se divise en deux parties indépendantes, couvrant un large spectre du programme de probabilités.

• Partie A : Probabilités conditionnelles et Loi Binomiale. C'est un démarrage classique. L'élève doit modéliser une situation d'enchaînement d'événements (chute lors de séances de sport) par un arbre pondéré. La difficulté réside dans la lecture précise de l'énoncé pour ne pas confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$. La transition vers une loi binomiale est standard : répétition d'épreuves identiques et indépendantes (tirage avec remise). Le calcul de l'espérance est ici une application directe du cours.
• Partie B : Somme de variables et Bienaymé-Tchebychev. C'est la partie la plus discriminante. Elle introduit la somme de deux variables aléatoires indépendantes $T = T_1 + T_2$. Les élèves doivent se rappeler que l'espérance est linéaire ($E(T) = E(T_1) + E(T_2)$) et que, pour des variables indépendantes, les variances s'ajoutent ($V(T) = V(T_1) + V(T_2)$). L'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer une probabilité est une compétence explicite du programme souvent négligée par les candidats, qui préfèrent souvent la loi normale (non applicable ici).

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice très complet qui teste la vision dans l'espace et la manipulation des coordonnées.

• Partie A : Droites, Plans et Projection. Le début est routinier : montrer que deux droites sont sécantes (résolution d'un système paramétrique), vérifier un vecteur normal et trouver l'équation cartésienne d'un plan. La question sur la non-coplanarité des points (A, B, C, S) peut se traiter par le volume du tétraèdre ou l'appartenance au plan. La notion de projeté orthogonal est centrale ici pour minimiser la distance, un classique de l'optimisation géométrique.
• Partie B : Point mobile et paramètre. Cette partie introduit un point $M$ dépendant d'un paramètre $k$. L'existence d'un triangle rectangle demande de traduire l'orthogonalité par un produit scalaire nul. C'est un excellent test de calcul algébrique où les erreurs de signe sont fréquentes.

Exercice 3 : Vrai ou Faux (4 points)

Cet exercice balaie l'analyse et les suites. Il requiert une justification rigoureuse pour chaque affirmation.

• Affirmation 1 (Suites) : Calcul de limite avec des formes indéterminées. La dominance de $5^n$ au numérateur et $3^n$ au dénominateur est la clé.
• Affirmation 2 (Récurrence) : Une suite définie par récurrence $w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$. L'inégalité $w_n \geqslant n$ se démontre idéalement par récurrence.
• Affirmation 3 (Convexité) : Lecture graphique. L'élève doit observer la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Si la courbe est en dessous de ses tangentes (comme cela semble être le cas sur la figure fournie autour de A), la fonction est concave, rendant l'affirmation fausse.
• Affirmation 4 (Logarithme) : L'inégalité $\ln(x) - x + 1 \leqslant 0$ est une propriété fondamentale souvent vue en cours (position relative de $\ln x$ et $x-1$), qui se démontre par l'étude des variations de la fonction associée.

Exercice 4 : Analyse et Équations Différentielles (6 points)

Un exercice modélisant un problème physique (freinage d'un chariot), mêlant lecture graphique et résolution analytique.

• Partie A : Lecture graphique. Interprétation du nombre dérivé (pente de la tangente) et de la limite (asymptote horizontale). C'est une entrée en matière douce.
• Partie B : Équation Différentielle. L'équation est du type $y' + ay = f(t)$. La particularité est la solution particulière de la forme $g(t) = t\text{e}^{-0,6t}$. Après avoir résolu l'équation homogène, l'élève doit recombiner les solutions. L'étude de la fonction solution (limites, dérivée, variations) mène au Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour trouver l'unicité de la solution.
• Partie C : Intégration. Le lien entre vitesse et distance ($d(t) = \int v(t) dt$) conduit à une intégration par parties (IPP). C'est une compétence technique essentielle en Terminale. L'exercice se termine par une application numérique demandant de la précision.