Introduction : Un sujet de secours riche et équilibré

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques d'Amérique du Nord 2025 (Sujet 2 de secours) est un excellent support d'entraînement pour les élèves de Terminale. Tombé en mai 2025, il couvre les quatre piliers majeurs du programme : l'analyse de fonctions avec convexité et intégration, la géométrie dans l'espace (sous forme de QCM justifié), les probabilités conditionnelles couplées à la loi binomiale, et enfin les suites numériques avec raisonnement par récurrence.

Ce sujet se distingue par sa structure classique mais exigeante sur la rédaction. Il ne suffit pas de trouver le résultat, il faut justifier rigoureusement, notamment dans l'exercice de géométrie et lors de l'étude de la convexité.

Exercice 1 : Analyse, Convexité et Intégration par parties

Le cœur de l'exercice

Cet exercice est le pilier de l'épreuve (5 points). Il étudie la fonction $f(x) = x \text{e}^{-x} + 2x - 1$. L'approche est séquentielle : limites, dérivées, convexité, puis calcul d'aire.

Les points clés et difficultés

• Convexité et Variations de la dérivée : Une particularité ici est l'utilisation de la dérivée seconde $f''(x)$ non seulement pour la convexité, mais pour étudier les variations de $f'$. C'est une compétence subtile : on étudie le signe de $f''$ pour trouver les variations de $f'$, puis on utilise le signe de $f'$ pour trouver les variations de $f$. Ne confondez pas les étapes !
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : La question sur l'existence d'un unique $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$ est un classique absolu. Attention à bien vérifier les conditions d'application (continuité, stricte monotonie).
• Position relative : L'étude par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-1$ demande d'étudier le signe de $f(x) - (2x-1)$. Ici, cela revient à étudier le signe de $x\text{e}^{-x}$.
• Intégration par parties (IPP) : La partie B demande de calculer l'intégrale $I_n = \int_{1}^{n} x \text{e}^{-x} \mathrm{d}x$. C'est l'application type de l'IPP où l'on dérive le polynôme ($x$) et on intègre l'exponentielle. Attention aux signes moins provenant de $\text{e}^{-x}$.

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (Vrai/Faux justifié)

La philosophie de l'exercice

Cet exercice de 5 points teste votre capacité à manipuler les représentations paramétriques de droites et les équations cartésiennes de plans sans tracé.

Les pièges à éviter

• Parallélisme de droites : Il faut comparer les vecteurs directeurs. Attention, ils doivent être colinéaires.
• Orthogonalité Droite / Plan : Ne confondez pas ! Pour qu'une droite soit orthogonale à un plan, son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur normal du plan. Si on vous donne trois points A, B, C pour définir le plan, il faut vérifier l'orthogonalité avec les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
• Intersection de droites : Pour montrer que deux droites sont sécantes, il faut résoudre un système en égalant leurs représentations paramétriques (attention à utiliser deux paramètres différents, $t$ et $t'$).
• Projeté orthogonal : Pour vérifier si F est le projeté de E sur P, deux conditions sont requises : F doit appartenir au plan P, et le vecteur $\vec{EF}$ doit être colinéaire au vecteur normal du plan.

Exercice 3 : Probabilités et Loi Binomiale

Le contexte

Un classique "Virus / Vaccin / Contamination". L'exercice mêle probabilités conditionnelles (arbres pondérés) et loi binomiale.

L'analyse du professeur

• Lecture de l'énoncé : La phrase "62% des personnes contaminées avaient été vaccinées" se traduit par $P_C(V) = 0,62$ et non $P(C \cap V)$. C'est l'erreur la plus fréquente.
• Inversion du conditionnement : On vous demande de calculer $P_V(C)$ (probabilité d'être malade sachant qu'on est vacciné) alors que l'arbre naturel donne l'inverse. Il faut passer par la formule de Bayes ou la définition $P_V(C) = \frac{P(V \cap C)}{P(V)}$.
• Loi Binomiale : La dernière partie sur un échantillon de 20 personnes est une application directe. N'oubliez pas de justifier les conditions : répétition d'épreuves identiques et indépendantes (tirage avec remise), succès/échec.

Exercice 4 : Suites numériques et Récurrence

La structure du problème

On étudie une suite définie par une relation de récurrence double : $u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n$. L'objectif est de trouver sa forme explicite et sa limite.

Compétences clés

• Conjecture : Le début de l'exercice demande de l'intuition numérique via un tableau.
• Suite auxiliaire : L'introduction de la suite $(w_n)$ permet de transformer le problème en une suite géométrique simple. C'est une technique standard pour résoudre les récurrences linéaires.
• Raisonnement par récurrence : La démonstration de la formule $u_n = n(\frac{1}{2})^n$ est le point technique majeur. L'hérédité demandera de manipuler les indices avec soin.
• Théorème de convergence : Pour la fin, on utilise le théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée par 0).

Conclusion

Ce sujet "Amérique du Nord 2025" est très formateur. Il ne présente pas de piège vicieux mais exige une connaissance parfaite du cours, notamment sur les définitions (convexité, vecteurs directeurs/normaux) et les méthodes de rédaction (récurrence, loi binomiale).