Introduction au Sujet Amérique du Nord 2023 (Sujet 2)

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques tombé en Amérique du Nord le 28 mars 2023 (Sujet 2) est un excellent support de révision pour les futurs bacheliers. Il couvre de manière équilibrée les quatre piliers majeurs du programme de Terminale : l'analyse de fonctions, les suites numériques, la géométrie dans l'espace et les probabilités.

Ce sujet se distingue par sa structure classique mais exigeante, demandant une bonne maîtrise du calcul algébrique et une capacité à interpréter graphiquement des données. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les enjeux et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Analyse de Fonction et Convexité (5 points)

Cet exercice est divisé en deux parties complémentaires : une lecture graphique et une étude analytique complète.

Partie A : Lecture Graphique

Le candidat est confronté à la courbe de la dérivée $f'$ (et non celle de la fonction $f$). C'est un piège classique !

• Compétence clé : Savoir que le signe de $f'(x)$ donne les variations de $f$. Il ne faut pas confondre les variations de la courbe tracée (qui est $f'$) avec celles de $f$.
• Convexité : Il faut repérer les intervalles où $f'$ est croissante (ce qui implique que $f$ est convexe) ou décroissante (concave).

Partie B : Étude Analytique

On travaille sur une fonction du type $f(x) = P(x)e^x$.

• Limites : En $-\infty$, on attend une croissance comparée (théorème des croissances comparées) pour lever la forme indéterminée.
• Dérivation : Le calcul de la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ est incontournable. Une erreur de signe ici compromet toute la suite de l'exercice.
• Convexité (Calculatoire) : L'exercice fournit la dérivée seconde $f''(x)$, ce qui est une aide précieuse. L'élève doit simplement étudier le signe d'un polynôme du second degré factorisé pour conclure sur les points d'inflexion.

Exercice 2 : Suites Numériques et Modélisation (5 points)

Un exercice de modélisation contextuelle (sportifs dans deux clubs) qui débouche sur l'étude classique d'une suite arithmético-géométrique.

Les points techniques

• Modélisation : Il faut traduire les pourcentages de transfert entre le club A et le club B en relations de récurrence. C'est souvent l'étape la plus délicate pour les élèves qui ont du mal à "mettre en équation" un texte.
• Récurrence : Une démonstration par récurrence est demandée pour encadrer la suite $(a_n)$. La rigueur de la rédaction (Initialisation, Hérédité, Conclusion) est primordiale.
• Suite Auxiliaire : On introduit une suite $(v_n)$ géométrique pour expliciter $(a_n)$. C'est le schéma standard : prouver que $v_{n+1} = q \times v_n$, puis remonter à $a_n$.

Aspect Python

L'exercice se termine par un script Python de recherche de seuil. L'élève doit comprendre la boucle while pour déterminer quand la population du club passe sous une certaine valeur. C'est une question de pure logique algorithmique très fréquente au Bac.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Cet exercice est très complet et balaie la quasi-totalité du chapitre de géométrie dans l'espace.

Notions abordées

• Vecteurs et Alignement : Vérifier la colinéarité de vecteurs.
• Représentation Paramétrique : Trouver l'équation d'une droite passant par deux points.
• Projeté Orthogonal : Identifier le point H. Cela demande de vérifier que le vecteur est orthogonal au vecteur directeur de la droite et que le point appartient bien à la droite.
• Plan et Vecteur Normal : Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan (produit scalaire nul avec deux vecteurs directeurs du plan) pour en déduire l'équation cartésienne du type $ax+by+cz+d=0$.
• Volume d'un Tétraèdre : L'exercice culmine avec le calcul de volume, nécessitant de calculer la hauteur (distance point-plan) et l'aire de la base.

Conseil : Les calculs de coordonnées sont nombreux. Une erreur de calcul au début peut se propager. Il est vital de vérifier la cohérence des résultats (par exemple, vérifier que les points donnés satisfont l'équation de plan trouvée).

Exercice 4 : QCM Varié (5 points)

Le questionnaire à choix multiples teste la rapidité et la précision des connaissances sur divers thèmes.

• Limites : Une limite de fonction avec logarithme népérien.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Une question conceptuelle sur l'existence de solutions, sans avoir l'expression de la fonction, juste des valeurs.
• Suites : Comportement asymptotique et opérations sur les limites.
• Probabilités (Variable Aléatoire) : Calcul de l'espérance (gain moyen). Attention au piège classique : le gain net est égal au gain brut moins la mise initiale !
• Loi Binomiale : Retrouver les paramètres $n$ ou $p$ à partir d'une probabilité donnée ($P(X=0)$).

Conclusion

Ce sujet Amérique du Nord 2023 est un "classique" très formateur. Il ne présente pas de difficulté conceptuelle majeure (pas de fonction trop exotique ou de raisonnement abstrait complexe), mais il exige une exécution technique parfaite. Pour obtenir la note maximale, la rédaction (récurrence, justification des limites, vocabulaire géométrique) fera la différence.