Introduction : Le Sujet "Secours" des Centres Étrangers 2023

Le 14 mars 2023, les candidats du groupe 1 des Centres Étrangers (Afrique, Europe de l'Ouest, Moyen-Orient) ont affronté leur deuxième épreuve de spécialité Mathématiques. Souvent considéré comme un indicateur fiable des tendances pour la session de juin en métropole, ce sujet (J2) est un incontournable pour les révisions.

Ce sujet se distingue par son équilibre. Il ne cherche pas à piéger l'élève avec des notions hors-programmes, mais vérifie la solidité des bases sur les quatre piliers de la Terminale : Analyse de fonctions et suites, Probabilités (conditionnelles et variables aléatoires), Géométrie dans l'espace et Algorithmique. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre la philosophie de l'épreuve et maximiser vos points.

Exercice 1 : Le QCM Panoramique (5 points)

Comme souvent, l'épreuve débute par un Questionnaire à Choix Multiples. C'est un exercice de vitesse et de précision. Attention : aucune justification n'est demandée, mais le brouillon est indispensable pour ne pas tomber dans les panneaux.

• Question 1 (Primitives) : On demande une primitive de $f(x) = x\text{e}^x$. C'est une forme classique $(ax+b)\text{e}^x$. La difficulté ici est de ne pas se lancer dans une intégration par parties inutile (non exigible pour trouver une primitive simple en QCM), mais de tester les dérivées des solutions proposées. La forme $u'v + uv'$ doit être reconnue.
• Question 2 (Convexité) : Analyse graphique pure. Il faut jongler entre le vocabulaire de la fonction ($f$ croissante/décroissante), de la dérivée (positive/négative) et de la dérivée seconde (convexe/concave). Le point d'inflexion en $x=5$ est la clé : c'est là que $f''$ s'annule et change de signe.
• Question 3 (Limites et équations) : Une fonction logistique typique. L'élève doit traduire les données ($g(0)=2$ et limite en $+\infty = 3$) en un système de deux équations à deux inconnues ($a$ et $b$). C'est un test d'aisance algébrique.
• Question 4 (Probabilités conditionnelles) : Un classique "inversé". On connaît le résultat (boule verte) et on cherche la cause (urne B). C'est l'application directe de la formule de Bayes via un arbre de probabilité pondéré. Le piège est de répondre $P(B \cap V)$ au lieu de $P_V(B)$.
• Question 5 (Python) : Une somme de termes. Il faut identifier la structure de boucle qui accumule (`S = S + ...`). La difficulté réside dans la gestion des indices avec `range(100)` qui s'arrête à 99, nécessitant un décalage dans le calcul du terme ($1/(k+1)$).

Exercice 2 : Le Duo Fonctions Logarithmes et Suites (6 points)

C'est le "cœur" de l'analyse en Terminale. L'exercice lie l'étude d'une fonction $f(x) = \ln(2x+3) - 1$ à une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

Partie A : L'outil théorique

L'élève est guidé via une fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$. L'objectif est clair : trouver les points fixes de $f$ (c'est-à-dire résoudre $f(x)=x$).
La compétence clé ici est le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), ou plus précisément son corollaire sur les fonctions strictement monotones, pour prouver l'existence et l'unicité de la solution $\alpha$. Il ne faut pas négliger la rigueur de la rédaction (continuité, monotonie, calcul des images aux bornes).

Partie B : La convergence de la suite

On rentre dans le schéma classique :

1. Invariance : Montrer que si $x$ est dans un intervalle, $f(x)$ y reste.
2. Récurrence : Prouver $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. C'est la démonstration de la croissance et de la majoration.
3. Convergence : Théorème de convergence monotone.

Le piège ? Oublier de préciser que la fonction $f$ est continue pour justifier que la limite est bien la solution de $f(l) = l$.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace concrète (6 points)

L'exercice est contextualisé (une maison et un garage), ce qui peut dérouter ceux habitués aux figures abstraites. Cependant, le repère orthonormé est imposé, ce qui ramène tout à du calcul analytique.

• Lecture de coordonnées : Ne pas aller trop vite. Les points comme $L$ ou $K$ sont des milieux, nécessitant des moyennes de coordonnées. Une erreur ici se répercute sur tout l'exercice.
• Représentation paramétrique : Application directe du cours. Il faut un point et un vecteur directeur.
• Produit scalaire et Angles : C'est la partie discriminante. La question 3 demande de calculer un angle $\widehat{MPN}$. La démarche attendue est : calcul du produit scalaire $\vec{PM} \cdot \vec{PN}$ via les coordonnées, calcul des normes, puis utilisation de la formule géométrique $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\alpha)$. Attention à la calculatrice en mode Degrés !
• Intersection de droites : Il faut prouver que les vecteurs ne sont pas colinéaires (donc droites sécantes ou non coplanaires) puis résoudre un système pour trouver le point d'intersection.

Exercice 4 : Modélisation Probabiliste (3 points)

Court, mais dense. Cet exercice demande une vraie capacité de modélisation.

Le sujet ne dit pas explicitement "Ceci suit une loi binomiale". C'est à l'élève de reconnaître la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (4 candidats, probabilité de succès 0,6).
La variable aléatoire $X$ compte les qualifiés. La difficulté réside dans le passage de $X$ (nombre de personnes) à $D$ (durée en minutes), qui n'est pas linéaire.

• Condition 1 : Calculer $P(X \geqslant 2)$. Il est souvent plus rapide de passer par l'événement contraire $1 - (P(X=0) + P(X=1))$.
• Condition 2 : Calculer l'espérance de la durée $E(D)$. Attention, ce n'est pas $E(X)$. Il faut dresser la loi de probabilité de $D$ (tableau valeurs/probabilités) et calculer la moyenne pondérée.

Bilan pour le candidat

Ce sujet "Centres Étrangers J2" est un excellent entraînement car il sanctionne immédiatement les approximations de calcul (géométrie) ou de logique (QCM). Il demande peu d'intuition géniale, mais une grande rigueur technique. Maîtriser ce sujet, c'est s'assurer une note supérieure à 15/20 le jour J.