Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths - Nouvelle-Calédonie (Août 2023)

Le sujet de Nouvelle-Calédonie, tombé fin août 2023 (session de rattrapage ou session décalée selon les zones), est un excellent entraînement pour les élèves préparant le Baccalauréat. Il couvre de manière équilibrée les quatre grands piliers du programme de Terminale : les Probabilités, les Suites Numériques, la Géométrie dans l'espace et l'Analyse de fonctions (avec Logarithme et Convexité).

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les enjeux et les compétences mobilisées sans se contenter d'une simple correction.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (5 points)

Cet exercice ancre les mathématiques dans le concret avec une histoire de location de bateaux. Il est découpé en trois parties indépendantes, ce qui permet de glaner des points même si l'on bloque sur une section.

• Partie A (Probabilités conditionnelles) : C'est du classique. L'élève doit construire un arbre pondéré. La difficulté réside souvent dans la lecture de l'énoncé : distinguer "probabilité de A sachant B" et "probabilité de A et B". La question 4 demande d'utiliser la formule de Bayes (inversion du conditionnement), une compétence fréquente au Bac.
• Partie B (Probabilités totales) : Ici, on introduit un nouvel événement (l'avarie). Il s'agit d'appliquer la formule des probabilités totales. Le calcul de l'espérance (nombre moyen d'avaries sur 1000 bateaux) est une simple proportionnalité ici.
• Partie C (Loi Binomiale) : On identifie une répétition d'épreuves indépendantes (Bernoulli). Les paramètres $n=40$ et $p=0.42$ sont à extraire. La calculatrice est indispensable pour calculer $P(X \ge 15)$. Attention à la syntaxe selon les modèles de calculatrices ($1 - P(X \le 14)$).

Exercice 2 : Suites Numériques et Algorithmique (5 points)

Un exercice très structuré sur l'étude d'une suite définie par récurrence $u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3$.

• Conjecture et Récurrence : L'exercice commence par une demande de conjecture via calculatrice, suivie d'une démonstration par récurrence de l'inégalité $u_n \ge n+1$. C'est un grand classique pour prouver la divergence vers $+\infty$.
• Suite Auxiliaire : Pour trouver la forme explicite, le sujet introduit une suite géométrique auxiliaire $(v_n)$. L'élève doit prouver qu'elle est géométrique en calculant le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n}$. C'est la méthode standard pour résoudre les suites arithmético-géométriques ou linéaires.
• Python : La dernière question porte sur un script de seuil. Il faut compléter la boucle while. Le piège classique est la condition de la boucle : on continue tant que la condition n'est pas atteinte (donc tant que $u < 10^7$).

Exercice 3 : QCM - Géométrie dans l'espace et Primitives (5 points)

Ce QCM balaie plusieurs notions. Rappelons qu'aucune justification n'est demandée, mais le brouillon doit être rigoureux.

• Primitives : La fonction $(x+1)e^x$ est de la forme $(u'v + uv')$ ou nécessite une vérification par dérivation des propositions. C'est souvent plus rapide de dériver les réponses proposées que d'intégrer la fonction.
• Positions relatives de droites et plans : Le sujet teste la capacité à gérer les représentations paramétriques. Pour les droites, il faut vérifier si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallélisme) ou résoudre le système pour l'intersection.
• Orthogonalité : Pour vérifier si une droite est orthogonale à un plan, on regarde si le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan (ce qui est contre-intuitif visuellement pour certains élèves).
• Angles : La dernière question sur l'angle $\widehat{FEG}$ invite à utiliser le produit scalaire.

Exercice 4 : Analyse de Fonction Logarithme et Convexité (5 points)

C'est le "gros morceau" de l'épreuve, centré sur la fonction $f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2\ln(x)$.

• Limites : En 0, il y a une forme indéterminée qui se lève par croissances comparées ($x^2\ln x \to 0$). En $+\infty$, la factorisation par $x^2$ est nécessaire.
• Dérivée seconde et Convexité : L'exercice guide l'élève vers le calcul de $f''(x)$. L'étude du signe de la dérivée seconde permet de déterminer la convexité et la position de la courbe par rapport à ses tangentes. C'est une application directe du cours.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : On cherche une solution unique $\alpha$ pour $f'(x)=0$. Cela permet ensuite de déduire le signe de la dérivée et donc les variations de $f$.
• Optimisation : La dernière question est la plus subtile. Elle demande de prouver une égalité pour $f(\alpha)$ en utilisant le fait que $f'(\alpha)=0$. C'est une technique d'algébrisation qui permet d'obtenir un encadrement précis du maximum sans connaître la valeur exacte de $\alpha$.