Introduction au Sujet La Réunion 2023

Le sujet du baccalauréat de mathématiques de La Réunion, session de mars 2023 (Jour 1), est un excellent support d'entraînement pour les élèves de Terminale Spécialité Maths. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme avec un équilibre parfait : Probabilités conditionnelles et loi binomiale, Analyse de fonction avec logarithme, Suites numériques (avec une touche de Python) et Géométrie dans l'espace.

Ce sujet est réputé pour être classique mais exigeant sur la rédaction et la justification. Voici une analyse détaillée pour comprendre la philosophie de chaque exercice et les compétences attendues.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, une structure très courante au Bac.

• Partie A (Probabilités conditionnelles) : L'élève est confronté à un scénario de démarchage téléphonique. La difficulté réside dans la construction de l'arbre pondéré qui comporte deux niveaux de décision (premier appel, puis second appel). L'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable ici. Attention à bien lire l'énoncé pour traduire "ne décroche pas" et "achète".
• Partie B (Loi Binomiale) : On passe à la répétition d'épreuves indépendantes (échantillon de 30 personnes). Les questions sont classiques : justification des paramètres, calcul de probabilité ponctuelle $P(X=6)$ et calcul d'espérance. La dernière question demande de trouver la taille $n$ de l'échantillon pour atteindre un seuil de probabilité de 0,99 (inéquation avec logarithme). C'est un incontournable des sujets de Bac.

Exercice 2 : Étude de Fonction (Logarithme)

L'analyse porte sur la fonction définie par $f(x) = 3x + 1 - 2x \ln(x)$. C'est un exercice riche qui teste presque tout le chapitre sur le logarithme népérien et la dérivation.

Points clés et difficultés :

• Calcul de limites : En $+\infty$, il y a une forme indéterminée qu'il faut lever par factorisation (croissance comparée).
• Dérivée : La fonction contient un produit $x \times \ln(x)$. L'erreur classique est d'oublier la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'étude des variations mène à prouver l'unicité d'une solution $\alpha$ pour $f(x)=0$.
• Primitive et Variations : Une question subtile (Question 4) demande le lien entre le signe de la fonction $f$ et les variations de sa primitive $F$. Il ne faut pas calculer la primitive, mais simplement utiliser le signe de $f$ déduit précédemment.
• Convexité : L'étude de la dérivée seconde $f''$ permet de justifier la position de la courbe par rapport à ses tangentes et de démontrer une inégalité fonctionnelle.

Exercice 3 : Suites Numériques et Python

Cet exercice mélange QCM (Questionnaire à Choix Multiples) et démonstrations classiques.

• Le QCM (Partie A) : Il teste la capacité à calculer des termes, à reconnaître la nature d'une suite auxiliaire (arithmétique ou géométrique) et à comprendre un algorithme Python. Pour le script Python, l'élève doit comprendre comment la variable s'incrémente dans une boucle for.
• Récurrence et Limites (Partie B) : La partie rédigée demande une démonstration par récurrence pour encadrer la suite $u_n$ entre $n$ et $n+3$. C'est une récurrence fine. La conclusion sur la limite de la suite et la limite du rapport $\frac{u_n}{n}$ utilise le théorème des gendarmes (ou de comparaison).

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace

On travaille dans un cube avec un repère orthonormé imposé. C'est l'exercice type pour vérifier la maîtrise du calcul vectoriel.

• Coordonnées et Plans : Il faut déterminer les coordonnées de points (attention à l'origine D du repère !), puis prouver qu'un vecteur est normal à un plan pour en déduire l'équation cartésienne de ce plan.
• Projeté orthogonal : L'exercice demande de vérifier qu'un point donné est bien le projeté orthogonal. Cela se fait en vérifiant l'appartenance au plan et la colinéarité du vecteur avec la normale du plan.
• Volume : La dernière question, plus ouverte, demande de calculer une fraction de volume. Il faut identifier la base et la hauteur du tétraèdre $FNKM$. C'est souvent la question discriminante pour obtenir le 20/20.