Analyse du Sujet Bac Spécialité Maths 2024 - Métropole (Sujet 2 / J2)

Le 20 juin 2024, les élèves de Terminale en France métropolitaine ont planché sur ce sujet de secours (aussi appelé sujet « dévoilé » ou J2). C'est un sujet particulièrement intéressant car il balaie l'ensemble du programme avec un équilibre subtil entre questions classiques et notions plus fines (comme l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou les intégrales généralisées). Voici une analyse détaillée pour vous aider à comprendre les attentes du correcteur.

Exercice 1 : Probabilités et Variables Aléatoires (5 points)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, une structure classique au Bac.

• Partie A - Probabilités conditionnelles : On commence par un arbre de probabilités très standard ($R$ et $F$). Les calculs de probabilités totales et conditionnelles ne présentent pas de piège majeur. La question 2 introduit une loi binomiale ($n=20$), un incontournable. Le piège : Attention à la rédaction de la loi binomiale (indépendance, paramètres).
• Partie B - Variables aléatoires et sommes : C'est la partie la plus technique. Elle demande de manipuler des espérances et des variances de sommes de variables aléatoires ($Y = Y_1 + Y_2$). La dernière question fait appel à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. C'est une compétence souvent négligée par les élèves mais explicite dans le programme. Elle permet d'estimer une probabilité sans connaître la loi exacte de $Z$.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (4 points)

Un exercice sous forme de Vrai/Faux avec justification. Ce format est traître : une bonne réponse sans justification vaut 0 point.

• Notions clés : Vecteur normal, équation paramétrique de droite, équation cartésienne de plan, et position relative de deux droites (coplanaires ou non).
• Difficulté : L'affirmation 4 sur les droites non coplanaires demande de prouver qu'elles ne sont ni sécantes ni parallèles. C'est souvent là que les candidats perdent du temps en calculs.

Exercice 3 : Suites Numériques et Logarithmes (5 points)

Un très bel exercice d'analyse de suite définie par récurrence $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2$.

• Partie A & B : Étude classique avec démonstration par récurrence et limites. La partie B intègre une petite lecture de script Python pour conjecturer que la suite est constante si $a=2$.
• Partie C : C'est le cœur du problème pour les excellents élèves. On introduit une suite auxiliaire $v_n = \ln(u_n - 1)$. Il fallait voir le lien entre la relation quadratique et les propriétés du logarithme pour prouver que $(v_n)$ est géométrique. Cela permet d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et de discuter la limite selon la valeur du paramètre $a$.

Exercice 4 : Analyse de Fonction et Intégration (6 points)

L'exercice le plus lourd du sujet, portant sur une fonction du type $f(x) = (ax+b)e^{\lambda x}$.

• Partie A - Étude graphique : Lecture de coefficients directeurs et identification de primitives. Il faut avoir l'œil pour éliminer les mauvaises courbes (croissance, signe).
• Partie B - Identification : Résolution d'un système pour trouver les constantes $a$ et $b$.
• Partie C - Étude complète : Dérivée, variations, limites et convexité (point d'inflexion). La question finale porte sur une intégration par parties pour calculer une aire, et conclut sur une ouverture vers les intégrales impropres (surface non limitée mais aire finie), une notion qui prépare au supérieur.

Conclusion

Ce sujet Métropole 2024 J2 est un excellent entraînement. Il ne suffit pas d'appliquer des recettes ; il faut comprendre le sens des variables aléatoires et savoir manipuler algébriquement des suites complexes. Pour réussir, la maîtrise du calcul (dérivées, primitives, logarithmes) est indispensable.