Analyse du Sujet Bac Spé Maths 2024 - Amérique du Nord (Jour 1)

L'épreuve de spécialité Mathématiques du Bac 2024 pour la zone Amérique du Nord (21 mai) propose un sujet équilibré, classique dans sa structure mais exigeant dans la rédaction. Il couvre les quatre piliers du programme de Terminale : Probabilités, Géométrie dans l'espace, Analyse de fonctions et le duo Suites/Intégrales.

Voici une analyse détaillée exercice par exercice pour comprendre les enjeux et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (Thème : Jeux Vidéo)

Cet exercice ancre les mathématiques dans un contexte ludique (loot de jeux vidéo). Il est divisé en deux parties indépendantes classiques.

• Partie A (Probabilités conditionnelles) : C'est l'application directe de la formule des probabilités totales via un arbre pondéré. Le piège ici réside souvent dans la lecture de l'énoncé : bien distinguer "sachant que" (probabilité conditionnelle) et "et" (intersection). La question de l'inversion du conditionnement (formule de Bayes) est présente en question 3.
• Partie B (Loi Binomiale) : On répète une expérience de Bernoulli (succès/échec) de manière indépendante. L'élève doit justifier l'utilisation de la loi Binomiale $B(30; p)$.
  Le point délicat : La dernière question ("Ticket d'or") demande de trouver un nombre $N$ de tirages pour que la probabilité d'au moins un succès dépasse 0,95. C'est une inéquation faisant intervenir les logarithmes ($1 - (1-p)^N \ge 0.95$).

Exercice 2 : QCM de Géométrie dans l'espace

Un exercice rapide qui demande une excellente vision spatiale et une maîtrise des systèmes d'équations.

• Représentations paramétriques : Il faut savoir passer de deux points à un vecteur directeur pour identifier la bonne représentation paramétrique de droite.
• Positions relatives : Savoir si deux droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires. L'astuce consiste souvent à tester si le système formé par les deux paramétrages admet une solution unique.
• Plan et vecteur normal : La dernière question teste la capacité à trouver l'équation cartésienne d'un plan défini par un point et une droite perpendiculaire (qui fournit donc le vecteur normal).

Exercice 3 : Étude de Fonction (Logarithme et Convexité)

Le "gros morceau" de l'analyse. La fonction étudiée est $f(x) = x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$.

• Simplification préalable : Pour $x > 0$, $\ln(x^2) = 2\ln(x)$. Utiliser cette forme simplifie grandement les calculs de dérivées !
• Lecture graphique vs Analyse : La Partie A demande d'interpréter la convexité visuellement (point d'inflexion) et le coefficient directeur de la tangente.
• Calculatoire : La Partie B exige de calculer la dérivée seconde $f''(x)$ pour prouver formellement la convexité. C'est un test de rigueur algébrique.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Indispensable pour montrer l'existence de la solution $\alpha$. La manipulation finale $\alpha^2 = \exp(1/\alpha^2)$ demande de repartir de l'égalité $f(\alpha)=0$.

Exercice 4 : Suites d'Intégrales et Python

C'est sans doute l'exercice le plus discriminant pour les candidats visant l'excellence.

• Convergences et bornes : Il faut majorer l'intégrale. On utilise souvent le fait que $|\sin(x)| \le 1$ ou on majore directement l'exponentielle sur l'intervalle d'intégration.
• Intégration par parties (IPP) : L'exercice guide vers une double IPP ou une relation de récurrence entre $I_n$ et $J_n$. C'est une technique classique du supérieur adaptée au niveau Terminale.
• Python : Le script final est une recherche de seuil. Il faut compléter la condition de boucle while (tant que l'intégrale est supérieure à 0.1).

Conclusion

Ce sujet Amérique du Nord 2024 est un excellent entraînement pour le Bac métropole. Il ne comporte pas de difficultés insurmontables mais sanctionne immédiatement les approximations de calcul (notamment sur les dérivées et les primitives) et le manque de rigueur dans les justifications géométriques.