Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021, issu de la banque de sujets pour les Centres Étrangers, mobilise deux piliers majeurs du programme de Terminale : l'analyse de fonctions exponentielles et la résolution d'équations différentielles linéaires. Pour réussir ce type de sujet, le candidat doit faire preuve d'agilité entre l'interprétation géométrique et le calcul algébrique.

1. Lecture graphique et lien avec la dérivée

La première partie de l'exercice (Partie A) est classique mais fondamentale. Elle exige de savoir traduire des informations visuelles en données numériques. Les points clés à maîtriser sont :

• L'image d'un point : Savoir lire les coordonnées d'un point sur la courbe $\mathcal{C}$ pour déterminer $f(0)$.
• Le nombre dérivé : Comprendre que le coefficient directeur de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $0$ correspond à la valeur de $f'(0)$. Il faut savoir calculer une pente à partir de deux points de la droite pour obtenir cette valeur.

Une fois ces valeurs obtenues graphiquement, l'élève doit les confronter à l'expression analytique de la fonction $f(x) = e^x + ax + be^{-x}$ et de sa dérivée. Cela conduit à un système d'équations permettant d'identifier les paramètres réels $a$ et $b$. Une erreur de signe dans la dérivée de $e^{-x}$ (qui est $-e^{-x}$) est un piège fréquent à éviter.

2. Équations différentielles $y' + y = f(x)$

La seconde moitié de la Partie A aborde les équations différentielles. La méthodologie attendue est standardisée :

• Vérification de solution : On demande souvent de prouver qu'une fonction donnée $g$ est une solution particulière. Il suffit de calculer $g'(x)$, d'injecter $g(x)$ et $g'(x)$ dans l'équation $(E)$ et de vérifier l'égalité.
• Équation homogène : La résolution de $y' + y = 0$ (ou $y' = -y$) doit être un automatisme, menant à des solutions de la forme $Ke^{-x}$.
• Superposition : La solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de l'homogène et de la solution particulière validée précédemment.

3. Étude de fonction et factorisation

La Partie B se concentre sur l'étude des variations de la fonction solution $g$. L'exercice guide le candidat à travers une factorisation astucieuse de type polynôme en $e^x$ (changement de variable implicite ou reconnaissance d'identités). L'objectif est d'obtenir une forme factorisée de la dérivée $g'(x)$ dont le signe est simple à étudier sur l'intervalle $[1; +\infty[$.

Pour conclure, la réussite de cet exercice repose sur la rigueur dans le calcul des dérivées composées et une bonne connaissance des propriétés algébriques de la fonction exponentielle ($\,e^{a+b}, e^{-x}, (e^x)^n\,$). C'est un sujet complet qui vérifie la capacité à modéliser une courbe et à résoudre des problèmes dynamiques via les équations différentielles.