Analyse globale de l'exercice : Modélisation et Suites

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Centres Étrangers) propose une étude de cas concrète sur la mise en place du télétravail dans une entreprise. Il s'articule autour de deux parties distinctes faisant appel à des compétences fondamentales du programme de Spécialité Mathématiques de Terminale : la gestion des suites arithmético-géométriques et l'étude fine de la convergence par le raisonnement par récurrence.

Le sujet permet de voir comment les mathématiques modélisent des évolutions temporelles discrètes (mois par mois) et comment interpréter les limites mathématiques dans un contexte réel (stabilisation d'un effectif).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice classique mais dense, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire techniques :

• Maîtriser les suites arithmético-géométriques (Partie A) :
  • Savoir passer d'une relation de récurrence affine ($a_{n+1} = q a_n + b$) à une suite géométrique auxiliaire ($v_n$).
  • Calculer le terme général d'une suite en fonction de $n$ ($a_n = a + b \times q^n$).
  • Résoudre des inéquations faisant intervenir des puissances (type $q^n < k$), souvent à l'aide du logarithme népérien ou par tâtonnement tabulaire.
• Étude de fonctions et Récurrence (Partie B) :
  • Étudier les variations d'une fonction homographique $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ sur un intervalle donné pour préparer la récurrence.
  • Mener rigoureusement un raisonnement par récurrence. Ici, il s'agit de démontrer une double inégalité et la croissance de la suite ($0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$). L'initialisation et l'hérédité doivent être rédigées avec soin.
• Convergence et Théorèmes de limites :
  • Utiliser le théorème de convergence monotone : une suite croissante et majorée converge.
  • Appliquer le théorème de comparaison (ou théorème des gendarmes) pour déterminer la limite finale, en utilisant une majoration de la distance à la limite ($4 - u_n$).

Conseils méthodologiques

Dans la partie A, veillez à bien identifier la raison de la suite géométrique auxiliaire. Une erreur de signe ou de calcul ici impacterait tout le reste de la partie. Dans la partie B, la structure est classique : étude de fonction $\rightarrow$ récurrence $\rightarrow$ convergence. Ne négligez pas l'étape de l'étude de la fonction $f$ : sa croissance est l'argument clé pour réussir l'hérédité de la récurrence.