Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Métropole, Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) classique mais dense. Il permet de balayer plusieurs notions fondamentales de l'analyse réelle sur une fonction combinant polynômes et exponentielles. Voici les points clés pour réussir ce type d'épreuve.

1. Maîtrise du calcul de dérivées

La première compétence sollicitée est purement technique : dériver une fonction quotient de la forme $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. La difficulté réside ici dans la présence de l'exponentielle $e^{2x}$. Il est impératif de se rappeler de la règle de la chaîne pour dériver une fonction composée : la dérivée de $e^{u}$ est $u' \times e^{u}$. L'oubli du facteur multiplicatif issu de l'exposant est l'erreur la plus fréquente. Une factorisation par $e^{2x}$ est ensuite nécessaire pour identifier la bonne forme proposée.

2. Lien entre dérivée et variations

Une fois la dérivée correcte identifiée, l'analyse de son signe permet de déterminer les variations de la fonction $f$. Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ et que le dénominateur $x^2$ l'est aussi sur l'intervalle d'étude, le signe de $f'(x)$ ne dépend que du polynôme au numérateur. La capacité à résoudre une inéquation simple du type $ax + b > 0$ est suffisante, mais cruciale pour conclure sur la présence d'un minimum ou d'un maximum.

3. Calcul de limites et croissances comparées

L'étude de la limite en $+\infty$ fait appel aux théorèmes de croissances comparées. L'élève doit reconnaître que l'exponentielle l'emporte sur la puissance de $x$ (ici $x$ au dénominateur). Savoir lever une indétermination de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ en citant le cours est un attendu de base en Terminale.

4. Convexité et point d'inflexion

La dernière question porte sur la convexité. L'énoncé offre généreusement l'expression de la dérivée seconde $f''(x)$, ce qui épargne un calcul fastidieux. La tâche se résume alors à une étude de signe. Le signe de $f''(x)$ dépend ici du signe d'un trinôme du second degré $2x^2 - 2x + 1$. Le calcul du discriminant $\Delta$ est indispensable. Si $\Delta < 0$, le trinôme est du signe de son coefficient dominant $a$. Comprendre que si la dérivée seconde ne change pas de signe, il n'y a pas de point d'inflexion, est la clé pour valider la bonne affirmation.

Conseil méthodologique pour le QCM

Bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie, il est fortement déconseillé de répondre au hasard. Utilisez votre brouillon pour effectuer les calculs complets comme s'il s'agissait d'un exercice rédigé. Cela permet de vérifier la cohérence des propositions et d'éviter les pièges tendus par les distracteurs (réponses fausses proches de la vérité).