Analyse globale de l'exercice QCM - Bac Mathématiques 2021

Cet exercice, proposé lors de la session du Baccalauréat en Asie en juin 2021, est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaye une grande partie du programme de Spécialité Mathématiques. Il ne demande aucune justification, ce qui impose aux candidats d'être sûrs de leurs résultats, souvent obtenus par une recherche au brouillon ou une vérification calculatoire rapide. Les thèmes abordés incluent l'analyse de fonctions exponentielles, la lecture graphique de la convexité, les limites et asymptotes, ainsi que l'étude des suites numériques couplée à l'algorithmique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir ce QCM, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Dérivation et forme factorisée : La première question nécessite de savoir dériver une fonction produit de la forme $u(x)v(x)$. Ici, il s'agit d'un polynôme multiplié par une exponentielle. La vigilance est de mise sur les signes et la factorisation finale pour identifier la bonne dérivée ou les variations. Il faut également connaître les croissances comparées en $-\infty$.
• Limites et Asymptotes : La deuxième question teste la compréhension du lien entre limites et asymptotes. L'élève doit évaluer le comportement de la fonction lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$. Se rappeler que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ est crucial pour déterminer le nombre d'asymptotes horizontales.
• Convexité et dérivée seconde : La lecture graphique de la courbe de $f''$ est un classique. La clé est de comprendre la relation hiérarchique : le signe de $f''$ donne les variations de $f'$ et la convexité de $f$. Un point d'inflexion est identifié non pas par l'annulation de $f''$, mais par son changement de signe (la courbe traverse l'axe des abscisses).
• Étude de suites explicites : Pour la suite définie par $u_n = n^2 - 17n + 20$, l'analyse s'apparente à celle d'un trinôme du second degré. Savoir calculer le sommet de la parabole associée permet de déterminer le sens de variation (décroissant puis croissant) et le minimum, invalidant ou validant ainsi les propositions sur la monotonie et la minoration.
• Algorithmique et Python : La dernière question porte sur un algorithme de seuil classique. Il faut être capable de lire une boucle while. La condition while u < 45 signifie que la boucle continue tant que la suite est inférieure à 45 et s'arrête dès qu'elle atteint ou dépasse 45. La valeur renvoyée correspond donc au premier rang $n$ pour lequel le seuil est franchi.

En résumé, cet exercice 6 demande une grande polyvalence et une maîtrise des fondamentaux de l'analyse et des suites. L'absence de points négatifs incite à traiter toutes les questions, mais une analyse rigoureuse au brouillon reste indispensable pour éviter les pièges classiques des QCM.