Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Polynésie, Sujet 2) aborde un thème classique et incontournable : les probabilités conditionnelles couplées à la loi binomiale. Voici les points méthodologiques essentiels pour réussir ce type d'épreuve.

1. Modélisation par un arbre pondéré

La première étape consiste à traduire l'énoncé en langage probabiliste. Il faut identifier les événements (ici $M$ pour la maladie et $T$ pour le test) et les probabilités données ($P(M)$, $P_M(\bar{T})$, etc.). L'erreur classique est de confondre $P_M(T)$ et $P(M \cap T)$. Rappelez-vous que les branches secondaires de l'arbre représentent toujours des probabilités conditionnelles. Soyez vigilant avec les termes "négatif" ou "sain" qui indiquent souvent l'événement contraire.

2. Calculs de probabilités et Formule des probabilités totales

Pour calculer la probabilité d'une intersection, on multiplie les probabilités le long du chemin correspondant sur l'arbre. Ensuite, pour déterminer la probabilité d'un événement global (comme $P(T)$), il faut utiliser la formule des probabilités totales en additionnant les probabilités des chemins menant à cet événement (Test positif sachant malade + Test positif sachant sain).

3. Probabilité conditionnelle inverse (Formule de Bayes)

La question demandant la probabilité d'être infecté sachant que le test est positif nécessite de "remonter" l'arbre. On applique la définition $P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}$. C'est une application directe des résultats précédents.

4. Loi Binomiale

Lorsque l'on répète une expérience de manière identique et indépendante (ici le choix de 10 personnes avec remise), on identifie une loi binomiale. Pour obtenir tous les points, il est impératif de justifier le choix de cette loi en précisant ses deux paramètres :

• $n$ : le nombre de répétitions (taille de l'échantillon).
• $p$ : la probabilité du succès (probabilité d'avoir un test positif calculée précédemment).

Le calcul de $P(X=k)$ se fait ensuite via la calculatrice ou la formule du cours avec les coefficients binomiaux.

5. Recherche d'un seuil (Inéquation)

La dernière question est un classique : "Combien de personnes faut-il tester pour que la probabilité d'avoir au moins un test positif dépasse 99% ?".

La méthode consiste à passer par l'événement contraire : "au moins un positif" est le contraire de "aucun positif" ($X=0$). L'inéquation à résoudre est donc $1 - P(X=0) > 0{,}99$. Cela aboutit généralement à une inéquation où l'inconnue $n$ est en exposant, nécessitant l'usage du logarithme népérien (ln) pour isoler $n$. Attention au sens de l'inégalité lors de la division par un logarithme négatif (car $\ln(p) < 0$ si $0 < p < 1$).