Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Polynésie 2023, Sujet 2) aborde l'étude des fonctions sous deux angles complémentaires : une approche purement graphique et une étude analytique guidée par le calcul formel. C'est un sujet classique qui teste la capacité de l'élève à lier les variations d'une fonction aux signes de ses dérivées.

Partie A : Analyse graphique et identification des courbes

La première partie exige une excellente maîtrise des liens entre une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$. Les candidats doivent savoir que :

• Le signe de la dérivée $f'$ donne les variations de $f$.
• Le signe de la dérivée seconde $f''$ (ou les variations de $f'$) indique la convexité de la fonction.
• Les extremums locaux de $f'$ correspondent aux points d'inflexion de $f$ (là où $f''$ s'annule en changeant de signe).

Pour réussir, il faut observer les changements de variations et les annulations sur le graphique pour attribuer correctement chaque courbe ($\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3$). La détermination du coefficient directeur d'une tangente par lecture graphique et l'identification des points d'inflexion complètent cette analyse qualitative.

Partie B : Étude analytique et calcul formel

La seconde partie se concentre sur une fonction de type logistique définie par $g(x) = \frac{4}{1 + \text{e}^{-kx}}$. Les compétences clés incluent :

• Calcul de limites : Gérer les limites de la fonction exponentielle composée en $+\infty$ et $-\infty$.
• Dérivation composée : Savoir dériver une fonction de la forme $\frac{u}{v}$ ou $\frac{1}{u}$ avec la fonction exponentielle, pour prouver une valeur spécifique de la dérivée en 0.
• Interprétation du calcul formel : L'exercice fournit l'expression de la dérivée seconde $g''(x)$. L'élève doit analyser le signe de cette expression (en étudiant le signe du produit des termes exponentiels) pour démontrer l'existence d'un point d'inflexion. C'est une compétence récurrente des nouveaux programmes : savoir utiliser un résultat donné par un logiciel pour conclure mathématiquement.

Ce sujet est un excellent entraînement pour vérifier la solidité des connaissances sur l'analyse de fonctions et la convexité sans calculs lourds, mais demandant une rigueur conceptuelle.