Analyse du QCM : Centres Étrangers Groupe 1 Sujet 1 - 2023

Cet exercice de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) couvre un large éventail de notions du programme de Terminale, allant de l'analyse (suites, fonctions, primitives) aux probabilités et à l'algorithmique. C'est un excellent test pour vérifier la maîtrise globale des fondamentaux sans nécessiter de justification rédigée.

Compétences et clés de réussite

1. Limites de suites géométriques

La première question porte sur le comportement asymptotique d'une suite définie par un quotient de termes exponentiels. La clé pour lever l'indétermination de type « l'infini sur l'infini » est de factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme prépondérant (celui qui a la base la plus grande, ici $5^n$ au dénominateur). Une fois la simplification effectuée, il suffit d'appliquer les limites usuelles des suites géométriques $q^n$ lorsque $0 < q < 1$.

2. Dérivation et fonction logarithme

Il s'agit ici de dériver une fonction produit de la forme $u(x) \times v(x)$, où $u(x) = x^2$ et $v(x) = \ln(x)$. La compétence requise est la connaissance parfaite de la formule $(uv)' = u'v + uv'$ ainsi que de la dérivée de la fonction logarithme népérien. Une factorisation finale est souvent nécessaire pour identifier la bonne réponse parmi les propositions.

3. Lien entre fonction et primitive

Cette question demande de faire le lien entre les variations d'une fonction $h$ (données par un tableau) et les propriétés de sa primitive $H$. Il est crucial de se rappeler que $H$ est une primitive de $h$ signifie que $H' = h$. Par conséquent :

• Le signe de $h(x)$ (et non ses variations) détermine les variations de $H$.
• Les variations de $h$ permettent de déduire son signe par lecture graphique du tableau (position par rapport à 0).

4. Algorithmique : Recherche de racine par dichotomie

Le script Python présenté implémente la méthode de dichotomie pour approcher la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. Pour réussir, il faut analyser deux éléments du code :

• La condition de la boucle while : elle doit continuer tant que l'écart entre les bornes est supérieur à la précision souhaitée.
• La mise à jour des bornes : puisque la fonction est strictement croissante, si l'image du milieu $f(m)$ est négative, cela signifie que la racine est plus grande que $m$, c'est donc la borne inférieure qui doit être relevée.

5. Probabilités : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

La situation décrite (tirages successifs avec remise) correspond à un schéma de Bernoulli. La variable aléatoire comptant le nombre de succès (boules vertes) suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. L'élève doit identifier correctement les paramètres $n$ (nombre de tirages) et $p$ (probabilité du succès : tirer une boule verte). La formule donnant la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès, $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, permet de trouver la bonne réponse.