Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023, tombé en Amérique du Nord (Sujet 1), est un classique incontournable des épreuves de mathématiques de la spécialité. Il mobilise l'ensemble des connaissances fondamentales du chapitre sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes. Pour réussir cet exercice, les élèves doivent faire preuve de rigueur dans la modélisation des événements et la justification des lois utilisées.

Modélisation par un arbre pondéré

La première partie de l'exercice repose sur la capacité à traduire un énoncé textuel, traitant ici de la gestion des déchets (minéraux, non minéraux, dangereux), en un langage probabiliste formel. La construction de l'arbre pondéré est l'étape cruciale. Il est impératif de bien distinguer les probabilités simples (premier niveau de l'arbre) des probabilités conditionnelles (second niveau). Une erreur fréquente consiste à confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1, ce qui permet souvent de déduire les valeurs manquantes comme celle des déchets dangereux.

Utilisation des formules de probabilité

Une fois l'arbre construit, l'exercice demande de manipuler les concepts d'intersection et de probabilité totale. Pour calculer la probabilité d'un événement global (ici, qu'un déchet soit recyclable), l'élève doit appliquer la formule des probabilités totales en additionnant les probabilités des chemins menant à cet événement. Par la suite, le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (sachant que le déchet est recyclable, quelle est la probabilité qu'il soit d'une certaine catégorie) nécessite une application rigoureuse de la formule de définition : $P_R(N) = \frac{P(R \cap N)}{P(R)}$.

Maîtrise de la loi binomiale

La seconde partie de l'exercice introduit une répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes (tirage avec remise), ce qui doit immédiatement évoquer la loi binomiale. Les clés de réussite résident ici dans la justification : il faut préciser qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli en identifiant le succès et l'échec, puis donner les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès). L'utilisation de la calculatrice est généralement requise pour déterminer des probabilités ponctuelles du type $P(X=k)$.

Recherche d'un seuil avec inéquation

Enfin, la dernière question est typique des sujets de Bac récents. Elle demande de déterminer une taille d'échantillon $n$ pour atteindre un certain seuil de probabilité (souvent $P(X \ge 1) \ge 0,9999$). La méthode attendue passe par l'événement contraire ("aucun succès") et la résolution d'une inéquation faisant intervenir une inconnue en exposant. La maîtrise des propriétés du logarithme népérien (ln) est indispensable pour isoler $n$ et conclure correctement, en n'oubliant pas d'inverser le sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif (le logarithme d'une probabilité étant toujours négatif).