Analyse du sujet : Géométrie vectorielle et QCM

Cet exercice du Baccalauréat de mathématiques, session 2023 pour la zone Polynésie (Sujet 1), est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) portant exclusivement sur la géométrie dans l'espace. Ce format est fréquent dans les épreuves terminales et demande une approche spécifique : rapidité, vérification et maîtrise des définitions fondamentales des objets géométriques (droites, plans, vecteurs).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire techniques essentiels :

• Identifier les éléments caractéristiques d'une droite : Savoir extraire un vecteur directeur et un point de passage à partir d'une représentation paramétrique est indispensable. Inversement, il faut savoir construire cette représentation à partir de deux points donnés (comme pour la droite (AB)).
• Maîtriser le produit scalaire et l'orthogonalité : La première question demande de trouver un vecteur directeur d'une droite orthogonale à deux autres droites sécantes. Cela revient souvent à chercher un vecteur normal au plan formé par ces deux droites, en vérifiant la nullité des produits scalaires avec les vecteurs directeurs des droites (AB) et (BC).
• Tester l'appartenance d'un point : Savoir vérifier si les coordonnées d'un point satisfont le système d'équations paramétriques d'une droite.
• Reconnaître les équations de plans simples : L'exercice se termine sur une question concernant un plan d'équation $x = k$. Il faut être capable d'identifier immédiatement le vecteur normal associé à ce type d'équation cartésienne élémentaire.

Conseils méthodologiques pour le QCM

Dans un QCM où aucune justification n'est demandée, deux stratégies s'offrent à vous : la résolution directe (calculer la réponse) ou la méthode par élimination (tester les propositions). Pour la géométrie dans l'espace, tester les propositions est souvent plus rapide et moins propice aux erreurs de calcul. Par exemple, pour trouver un vecteur directeur orthogonal, il suffit de tester les produits scalaires avec les réponses proposées jusqu'à trouver celui qui s'annule deux fois.

Attention aux pièges classiques : ne confondez pas vecteur directeur (pour une droite) et vecteur normal (pour un plan), et soyez vigilants sur les signes lors de la lecture des coefficients dans les représentations paramétriques.