Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023, session Asie (Sujet 2), propose une application classique mais complète des suites numériques dans un contexte scientifique : la désintégration radioactive du polonium. Il s'agit d'un problème de modélisation où l'élève doit traduire une situation physique en langage mathématique, étudier le comportement asymptotique d'une suite et interpréter les résultats à l'aide d'un algorithme Python.

1. Modélisation et suites arithmético-géométriques

La première difficulté réside dans la traduction de l'énoncé. L'élève doit être capable de passer des pourcentages de diminution (désintégration) et des ajouts constants (compensation) à une relation de récurrence. Ici, la suite est de type v_{n+1} = a*v_n + b. La maîtrise de la manipulation des puissances de 10 est indispensable, car les données (nombre de noyaux) sont des ordres de grandeur très élevés ($10^{21}$).

2. Raisonnement par récurrence et convergence

L'exercice exige une démonstration par récurrence pour prouver la décroissance de la suite (ou l'encadrement des termes). C'est une compétence fondamentale du programme de Spécialité. Pour réussir, il faut savoir :

• Initialiser la propriété.
• Mener l'hérédité en construisant l'inégalité étape par étape à partir de la relation de récurrence.
• Conclure proprement.

La déduction de la convergence repose ensuite sur le théorème de la limite monotone : toute suite décroissante et minorée converge. Il est crucial de bien identifier le minorant (ici 0 ou une valeur positive liée au contexte).

3. Suite auxiliaire et passage à la forme explicite

Comme souvent avec les suites arithmético-géométriques, une suite auxiliaire $(u_n)$ est introduite pour revenir à une structure connue. Les étapes clés sont :

• Prouver que $(u_n)$ est géométrique en exprimant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
• Déterminer la raison $q$ et le premier terme.
• Écrire la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$, puis en déduire celle de $v_n$.

Cette partie permet ensuite de calculer la limite de la suite, interprétée ici comme l'état d'équilibre du système radioactif sur le long terme.

4. Résolution d'inéquations et Logarithme

Pour déterminer un seuil (le nombre de jours avant que la quantité de noyaux ne passe sous une certaine valeur), l'élève doit résoudre une inéquation où l'inconnue est en exposant. L'utilisation du logarithme népérien ($\\ln$) est requise. Une vigilance particulière est attendue lors de la division par un nombre négatif (comme $\ln(0,995)$), qui inverse le sens de l'inégalité.

5. Algorithmique et langage Python

La dernière partie évalue la capacité à lire et compléter un script Python. Il ne s'agit pas seulement de coder, mais de comprendre la logique d'une boucle et la gestion des listes. L'élève doit savoir traduire la relation de récurrence $v_{n+1} = f(v_n)$ en une affectation de variable informatique et comprendre comment une liste accumule les valeurs successives pour modéliser l'évolution temporelle du phénomène.