Analyse de l'exercice : QCM de Géométrie dans l'espace

Cet exercice 4 du sujet de Baccalauréat Mathématiques 2023 (Métropole Septembre, Sujet 2) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) classique. Il permet d'évaluer la compréhension globale de la géométrie dans un repère orthonormé, sans exiger de justification formelle sur la copie. Cependant, pour trouver la bonne réponse, l'élève doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de spécialité.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir ce type d'exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :

• Vérification d'appartenance à un plan : La première compétence testée est la capacité à manipuler une équation cartésienne de plan de type $ax + by + cz + d = 0$. L'élève doit savoir tester les coordonnées de différents points pour voir si l'égalité est vérifiée. C'est une méthode par élimination rapide et efficace.
• Nature des triangles et distances : Pour déterminer si un triangle est isocèle, équilatéral ou rectangle, il faut calculer les longueurs des côtés à l'aide de la formule de distance dans l'espace $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + ...}$. L'utilisation du produit scalaire est également une méthode clé pour prouver l'orthogonalité (triangle rectangle).
• Position relative Droite / Plan : L'analyse de la position d'une droite définie par une représentation paramétrique par rapport à un plan défini par une équation cartésienne nécessite l'étude des vecteurs. Il faut savoir extraire le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. Leur colinéarité indique l'orthogonalité droite/plan, tandis que leur orthogonalité (produit scalaire nul) indique le parallélisme.
• Calcul d'angle via le produit scalaire : L'une des applications majeures du produit scalaire est la détermination d'angles géométriques. L'élève doit mobiliser la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ pour isoler le cosinus et en déduire l'angle.
• Intersection de deux plans : Enfin, comprendre l'intersection de deux plans implique de comparer leurs vecteurs normaux. Si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants selon une droite. Savoir identifier cette configuration géométrique est crucial pour répondre correctement sans se lancer dans des calculs complexes de résolution de système.

Ce QCM demande de la rigueur dans le calcul mental ou au brouillon. Bien que la justification ne soit pas demandée, procéder par élimination ou par vérification directe des propriétés géométriques est la stratégie gagnante.