Analyse du Sujet Bac 2023 Asie (Sujet 2) - Exercice 1

Cet exercice de géométrie dans l'espace est un classique des épreuves du baccalauréat scientifique. Il s'appuie sur une configuration visuelle claire (deux cubes accolés) pour tester la capacité des élèves à modéliser des problèmes géométriques dans un repère orthonormé.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de spécialité mathématiques :

• Repérage dans l'espace : Savoir lire et déterminer des coordonnées de points dans un repère défini par les arêtes d'un cube, ainsi que calculer les coordonnées d'un milieu.
• Calculs de volumes : L'exercice débute par le calcul du volume d'un tétraèdre. Il est essentiel de connaître la formule $V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$ et de savoir identifier la base et la hauteur adéquates dans la figure pour simplifier les calculs.
• Vecteurs normaux et plans : Une partie cruciale consiste à démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. Cela implique généralement de prouver l'orthogonalité de ce vecteur avec deux vecteurs non colinéaires du plan via le produit scalaire.
• Équations de plans et de droites :
  • Passer d'un vecteur normal à l'équation cartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$).
  • Déterminer la représentation paramétrique d'une droite passant par un point et dirigée par un vecteur (ici, le vecteur normal au plan).
• Intersection et projection : Savoir trouver les coordonnées du point d'intersection entre une droite et un plan en injectant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan.
• Lien entre distance et aire : La fin de l'exercice demande de déduire une aire à partir des résultats précédents. C'est une démarche typique où l'on utilise le volume calculé au début et la hauteur trouvée (distance d'un point au plan) pour retrouver l'aire de la base.

Cet exercice nécessite de la rigueur dans les calculs algébriques et une bonne vision dans l'espace pour vérifier la cohérence des résultats obtenus.