Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet 2 de Nouvelle-Calédonie 2023 aborde l'étude classique d'une suite numérique définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Il mobilise plusieurs compétences centrales du programme de Spécialité Mathématiques en Terminale, allant du calcul algébrique à l'utilisation du numérique avec Python.

1. Algorithmique et calcul de termes

La première partie de l'exercice vérifie la capacité du candidat à calculer les premiers termes d'une suite pour en intuiter le comportement. Ensuite, le lien avec la programmation est établi via une fonction Python. Pour réussir cette question, il est indispensable de comprendre la syntaxe de la boucle for et la gestion des variables d'accumulation ou de mise à jour dans un algorithme de calcul de termes de suite.

2. Étude de fonction et sens de variation

L'étude de la fonction associée $f$ est une étape clé. Ici, il s'agit d'une fonction homographique. Le candidat doit savoir calculer la dérivée d'un quotient et étudier son signe pour conclure sur la stricte croissance de la fonction sur l'intervalle donné. Cette propriété est fondamentale pour la suite de l'exercice, notamment pour l'étape de l'hérédité dans le raisonnement par récurrence.

3. Raisonnement par récurrence et convergence

Le cœur de l'exercice repose sur la démonstration par récurrence de l'encadrement et de la décroissance de la suite. Les clés de réussite résident dans :

• Une rédaction rigoureuse des étapes (initialisation, hérédité, conclusion).
• L'utilisation astucieuse de la croissance de la fonction $f$ pour propager les inégalités ($u_{n+1} \leqslant u_n \implies f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)$).

Une fois la monotonie et le caractère borné établis, l'application du théorème de convergence monotone permet de justifier l'existence d'une limite finie.

4. Suite auxiliaire et expression explicite

La dernière partie utilise une suite auxiliaire $(v_n)$ pour déterminer l'expression explicite de $(u_n)$. Il faut démontrer que $(v_n)$ est arithmétique en calculant la différence $v_{n+1} - v_n$. Cette méthode standard permet de passer d'une relation de récurrence complexe à une expression fonctionnelle de $n$, facilitant ainsi le calcul final de la limite. La rigueur dans les manipulations algébriques (réduction au même dénominateur) est ici primordiale.