Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 1, Sujet 1) propose une situation classique de modélisation biologique à l'aide d'une fonction exponentielle. Il s'agit d'un QCM justifié ou d'un exercice de type "Vrai/Faux" qui mobilise l'ensemble des outils de l'analyse réelle sur un intervalle non borné.

1. Maîtriser la dérivation des fonctions composées

Pour traiter la première affirmation concernant la croissance de la population, il est indispensable de savoir dériver une fonction de la forme $e^{u(t)}$. L'élève doit identifier la fonction polynôme du second degré $u(t) = -0,5t^2 + t + 2$ et calculer sa dérivée. L'étude du signe de la dérivée $f'(t)$ permettra de dresser le tableau de variations complet de la fonction sur $[0; +\infty[$. Attention à ne pas supposer la croissance uniquement sur les premières valeurs : une étude rigoureuse du signe de $-t + 1$ est nécessaire.

2. Calcul de limites et interprétation concrète

La deuxième affirmation interroge sur le comportement asymptotique de la population (le "très long terme"). Cela requiert le calcul de la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. La clé réside dans la limite de l'exposant (qui tend vers $-\infty$) et la connaissance de $\lim_{X \to -\infty} e^X$. Une vigilance particulière doit être apportée aux unités : le résultat mathématique obtenu est en "milliers d'entités". Il faut donc convertir correctement la valeur limite (faisant intervenir $e^3$) pour la comparer au seuil de 21 000 bactéries proposé.

3. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

La dernière affirmation demande de déterminer combien de fois la population atteint un certain seuil. C'est une application directe du Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou de son corollaire de bijection monotone). L'élève doit utiliser le tableau de variations établi précédemment pour découper l'intervalle d'étude en sous-intervalles monotones. Il faudra ensuite vérifier si la valeur cible (ici 10, correspondant à 10 000 bactéries) est comprise dans les images de ces intervalles. Une calculatrice est nécessaire pour évaluer les bornes et valider les hypothèses.

En résumé, cet exercice est un excellent entraînement pour lier les calculs abstraits (dérivées, limites) à une interprétation concrète dans un contexte scientifique.