Analyse de l'Exercice 4 : Suites Numériques et Récurrence

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 (Amérique du Nord, Sujet 2 de Secours) propose une étude classique mais rigoureuse d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. L'objectif est d'analyser le comportement global de la suite, de déterminer son expression explicite et d'étudier sa convergence.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de Terminale :

• Calcul de termes et conjecture : La première partie demande de manipuler la relation de récurrence pour calculer les premiers termes. C'est une étape simple mais cruciale pour visualiser le comportement de la suite (ici, elle semble stationner ou tendre vers une limite précise).
• Utilisation d'une suite auxiliaire : L'exercice introduit une suite (w_n) pour simplifier l'étude. Il est impératif de savoir démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport w_n+1 / w_n. Cette étape permet de débloquer l'expression explicite de la suite principale.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'exercice. Le candidat doit prouver une égalité dépendant de n (l'expression explicite de u_n). La rédaction doit être impeccable : initialisation, hérédité (en utilisant l'hypothèse de récurrence et la relation liant u_n+1 et u_n) et conclusion.
• Étude des variations et convergence : L'analyse de la décroissance de la suite à partir d'un certain rang, couplée à sa minoration (implicite ou explicite), permet d'utiliser le théorème de la convergence monotone. Il ne s'agit pas ici de calculer la limite tout de suite, mais de justifier son existence.
• Calcul de limites : Enfin, la détermination de la valeur de la limite se fait soit par résolution d'équation (point fixe), soit par passage à la limite dans l'expression explicite trouvée précédemment, faisant intervenir des croissances comparées ou des limites usuelles de suites géométriques.

Cet exercice est un excellent entraînement pour structurer son raisonnement sur les suites, car il enchaîne logiquement l'aspect calculatoire, l'abstraction via la récurrence et l'analyse asymptotique.