Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Dépistage (Asie Sujet 2 - 2025)

Cet exercice est un classique des sujets de Baccalauréat, ancré dans un contexte concret de santé publique : le dépistage du virus du chikungunya. Il mobilise l'ensemble des connaissances attendues sur les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires discrètes, structuré en trois parties progressives allant du calcul numérique à la modélisation théorique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Spécialité Mathématiques :

1. Modélisation par arbre pondéré et probabilités conditionnelles

La Partie A exige une lecture rigoureuse de l'énoncé pour traduire les données (sensibilité et spécificité du test) en probabilités mathématiques ($P_M(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$). La construction de l'arbre pondéré est une étape cruciale qui sert de support visuel pour appliquer la formule des probabilités totales. Une difficulté classique ici est le calcul de la probabilité inverse $P_T(M)$ (probabilité d'être malade sachant que le test est positif), souvent appelée valeur prédictive positive, qui nécessite de bien distinguer $P(M \cap T)$ et $P_T(M)$.

2. Étude de fonction et résolution d'inéquations

La Partie B généralise le problème en introduisant une variable $p$ représentant la prévalence de la maladie. L'élève doit faire preuve d'abstraction pour exprimer les probabilités en fonction de ce paramètre. L'analyse de la fiabilité du test conduit à la résolution d'une inéquation homographique ou du premier degré, demandant de la rigueur dans les manipulations algébriques pour déterminer le seuil de prévalence nécessaire.

3. Loi binomiale et seuil de probabilité

La Partie C bascule sur l'étude d'un échantillon, modélisée par une loi binomiale. Les points clés sont :

• La justification des paramètres de la loi (répétition d'épreuves identiques et indépendantes, succès/échec).
• Le calcul de la probabilité de l'événement « au moins un individu » ($X \ge 1$) en passant par l'événement contraire ($1 - P(X=0)$).
• La résolution d'une inéquation de type $1 - q^n > 0,99$ pour trouver la taille de l'échantillon $n$. Cette étape nécessite souvent l'utilisation du logarithme népérien (ln) pour isoler l'exposant $n$.

En résumé, cet exercice complet vérifie la capacité du candidat à modéliser une situation réelle, à manipuler les outils probabilistes de base et à utiliser l'analyse algébrique pour prendre une décision (fiabilité du test, taille d'échantillon).