Analyse de l'Exercice 3 : Géométrie dans l'espace - Bac Métropole 2025 Sujet 1

Cet exercice, issu de l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat 2025 (Métropole, Sujet 1), est un classique du genre "Vrai ou Faux avec justification". Il balaie plusieurs notions fondamentales de la géométrie dans l'espace. Ce type d'exercice teste non seulement la connaissance des formules, mais surtout la capacité du candidat à raisonner logiquement pour valider ou invalider une proposition.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est crucial de maîtriser les outils analytiques liés aux droites et aux plans dans un repère orthonormé.

1. Représentations paramétriques de droites

L'affirmation 1 demande de vérifier une équation paramétrique pour une droite passant par deux points A et B. L'erreur classique est de chercher à reconstruire l'équation paramétrique à partir de zéro. Une méthode plus rapide et tout aussi rigoureuse consiste à vérifier deux conditions :

• Le vecteur directeur donné par les coefficients de $t$ est-il colinéaire au vecteur $\vec{AB}$ ?
• Les coordonnées d'un des points (A ou B) vérifient-elles le système pour une valeur précise de $t$ ?

2. Caractérisation vectorielle d'un plan

Pour l'affirmation 2, il s'agit de déterminer si un vecteur est normal à un plan défini par trois points (ici O, A, B). La clé de réussite réside dans l'utilisation du produit scalaire. Un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Il suffit donc de tester l'orthogonalité du vecteur proposé avec les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$.

3. Position relative de deux droites

L'affirmation 3 aborde la coplanarité de deux droites $d$ et $d'$. Deux droites de l'espace peuvent être confondues, strictement parallèles, sécantes ou non coplanaires. La stratégie à adopter est la suivante :

• Observer les vecteurs directeurs pour exclure le parallélisme.
• Si elles ne sont pas parallèles, chercher une éventuelle intersection en résolvant un système d'équations à deux inconnues ($k$ et $s$).
• L'absence de solution et de parallélisme confirme qu'elles ne sont pas coplanaires.

4. Distance d'un point à un plan

Enfin, l'affirmation 4 nécessite l'application directe de la formule de la distance d'un point à un plan. Il est impératif de connaître cette formule par cœur : $d(C, \mathcal{P}) = \frac{|ax_C + by_C + cz_C + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. La rigueur dans le calcul numérique est ici essentielle, notamment la gestion de la valeur absolue et de la racine carrée au dénominateur.

En somme, cet exercice demande de la méthode et une grande précision dans les justifications. Une affirmation déclarée vraie ou fausse sans la démonstration mathématique appropriée ne rapporte aucun point.