Compétences et clés de réussite

Cet exercice 2 du sujet 1 du Baccalauréat 2025 (Centres Étrangers) est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM) centré exclusivement sur la géométrie dans l'espace. Ce thème est un classique incontournable de l'épreuve de spécialité mathématiques. Pour réussir ce type d'exercice, le candidat doit faire preuve de rigueur dans la manipulation des coordonnées et des vecteurs, tout en maîtrisant parfaitement les différentes représentations des objets géométriques (droites et plans).

1. Maîtriser les vecteurs directeurs et normaux

La clé de voûte de la géométrie analytique dans l'espace réside dans l'identification rapide des vecteurs caractéristiques :

• Pour une droite : Il faut savoir extraire un vecteur directeur à partir d'une représentation paramétrique (les coefficients devant le paramètre $t$) ou calculer le vecteur formé par deux points (comme le vecteur $\vec{AB}$).
• Pour un plan : La lecture immédiate d'un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ à partir d'une équation cartésienne du type $ax + by + cz + d = 0$ est indispensable.

Dans cet exercice, la capacité à comparer ces vecteurs (colinéarité pour le parallélisme, produit scalaire nul pour l'orthogonalité) permet de répondre efficacement aux trois premières questions.

2. Positions relatives dans l'espace

L'exercice teste la capacité à déterminer la position relative de divers objets :

• Entre deux droites : Sont-elles sécantes, parallèles, confondues ou non coplanaires ? Il faut souvent vérifier si les vecteurs directeurs sont colinéaires, et sinon, tester l'existence d'un point d'intersection en résolvant un système.
• Entre une droite et un plan : L'orthogonalité entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan indique que la droite est parallèle (ou incluse) au plan. Si le produit scalaire est non nul, ils sont sécants.
• Entre deux plans : La colinéarité de leurs vecteurs normaux indique qu'ils sont parallèles. L'orthogonalité des vecteurs normaux implique la perpendicularité des plans.

3. Calcul d'angles et produit scalaire

La dernière question fait appel à une application classique du produit scalaire : la détermination d'un angle géométrique. La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ est fondamentale ici. Le candidat doit savoir calculer les coordonnées des vecteurs, leurs normes, leur produit scalaire algébrique ($xx' + yy' + zz'$), pour ensuite isoler le cosinus et en déduire l'angle à la calculatrice.

Conseils méthodologiques pour le QCM

Bien que la justification ne soit pas demandée, il est impératif de réaliser les calculs au brouillon. Pour les positions relatives, on peut parfois procéder par élimination en testant les propriétés faciles (parallélisme) avant de se lancer dans des résolutions de systèmes plus complexes. Enfin, attention aux erreurs de calcul mental sur les signes, fréquentes lors du calcul de produits scalaires ou de normes.