Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025, issu du Sujet 2 des Centres Étrangers, propose une étude classique de modélisation de l'évolution de deux populations animales distinctes. Il s'agit d'un problème complet permettant de balayer une grande partie du programme d'analyse sur les suites numériques et leur comportement asymptotique, ainsi que l'utilisation d'outils numériques comme Python.

1. Maîtriser les suites géométriques

La première partie (Partie A) se concentre sur un modèle de décroissance exponentielle. Pour réussir cette section, le candidat doit parfaitement connaître la forme explicite d'une suite géométrique ($u_n = u_0 \times q^n$). La clé réside ici dans la capacité à identifier la raison $q$ (ici inférieure à 1) et à en déduire directement la limite de la suite. C'est une application directe du cours qui demande de la rigueur dans la rédaction, notamment pour justifier la convergence vers 0.

2. Étude de fonction et Récurrence

La Partie B est plus dense et fait appel à l'analyse de fonctions pour étudier une suite récurrente du type $v_{n+1} = f(v_n)$. Les compétences requises sont :

• L'étude des variations : Il faut savoir dériver une fonction polynôme du second degré et étudier son signe pour établir la croissance de la fonction sur un intervalle donné.
• Le raisonnement par récurrence : C'est le cœur de cette partie. Il faut démontrer une propriété d'encadrement ($2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$). L'hérédité repose souvent sur la croissance de la fonction $f$ démontrée précédemment. Une attention particulière doit être portée à la structure de la démonstration (initialisation, hérédité, conclusion).
• Le théorème de convergence monotone : Il faut faire le lien entre la décroissance de la suite (prouvée par récurrence) et le fait qu'elle soit minorée pour affirmer sa convergence.
• Le théorème du point fixe : Pour trouver la limite, il est nécessaire de résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$.

3. Comparaison et Algorithmique

La dernière partie (Partie C) teste la capacité à utiliser les modèles mathématiques pour répondre à une problématique concrète. Elle nécessite de savoir résoudre des inéquations faisant intervenir des puissances (l'utilisation du logarithme népérien peut être utile ou une approche par tâtonnement selon les consignes). Enfin, l'exercice se clôture par une question d'algorithmique en langage Python. Il faut comprendre la logique d'une boucle while (tant que). Pour compléter le script, l'élève doit identifier la condition d'arrêt (ici liée à la comparaison des deux populations) et traduire les relations de récurrence des suites $u$ et $v$ en syntaxe informatique.