Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Statistiques - Métropole 2025 (Sujet 2)

Cet exercice du Baccalauréat 2025, session Métropole (Sujet 2), propose une étude complète des probabilités discrètes, divisée en deux parties indépendantes. Il permet d'évaluer la maîtrise des probabilités conditionnelles classiques ainsi que des notions plus avancées concernant les sommes de variables aléatoires et les inégalités de concentration.

Compétences et clés de réussite

Partie A : Probabilités conditionnelles et Loi Binomiale

La première partie ancre le problème dans un contexte concret (chutes lors de séances de roller). Les compétences clés sollicitées sont :

• Modélisation par un arbre pondéré : C'est la première étape indispensable. Il faut traduire correctement les données de l'énoncé ($P(A)$, $P_A(B)$, etc.) sur les branches de l'arbre. Une erreur ici se répercute sur la suite.
• Utilisation de la formule des probabilités totales : Pour calculer $P(B)$, l'élève doit identifier les différents chemins menant à l'événement $B$ et sommer leurs probabilités.
• Probabilités conditionnelles inverses : La question demandant la probabilité de ne pas avoir chuté à la première séance sachant qu'on n'a pas chuté à la deuxième fait appel à la définition $P_{\overline{B}}(\overline{A}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) / P(\overline{B})$.
• Loi Binomiale : L'exercice bascule ensuite sur la répétition d'épreuves indépendantes (échantillon avec remise). Il est crucial de justifier l'usage de la loi binomiale en citant les deux issues (succès/échec), l'indépendance et la répétition, puis de préciser les paramètres $n$ et $p$. Le calcul de probabilité cumulée ($X \ge 20$) nécessite souvent l'usage de la calculatrice ou le passage par l'événement contraire.

Partie B : Somme de variables et Bienaymé-Tchebychev

Cette seconde partie est plus théorique et fait appel aux propriétés algébriques des variables aléatoires :

• Espérance d'une somme : La linéarité de l'espérance ($E(T) = E(T_1) + E(T_2)$) est une propriété fondamentale à connaître, valable même si les variables ne sont pas indépendantes (bien qu'elles le soient ici).
• Variance d'une somme : Contrairement à l'espérance, la relation $V(T_1 + T_2) = V(T_1) + V(T_2)$ n'est vraie que parce que les variables sont indépendantes. L'élève doit explicitement citer cette hypothèse de l'énoncé pour justifier son calcul.
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : C'est le point technique final. L'élève doit être capable de majorer la probabilité que la variable s'écarte de son espérance. Ici, la question demande de minorer la probabilité de rester dans un intervalle centré sur la moyenne ($P(|T - E(T)| < \delta) \ge 1 - \frac{V(T)}{\delta^2}$). Il faut identifier correctement la valeur de l'écart $\delta$ à partir des bornes 60 et 140 minutes.

En résumé, cet exercice numéro 1 du sujet 2 balaye un large spectre du programme de spécialité mathématiques, demandant rigueur dans la formalisation et bonne connaissance des théorèmes de concentration.