Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025 (Polynésie, Sujet 2) propose une étude classique mêlant probabilités conditionnelles et suites numériques, appliquée à un contexte concret de transmission de données binaires, complété par une approche algorithmique en Python.

Analyse probabiliste et modélisation par les suites

Dans la première partie, la difficulté principale réside dans la modélisation de l'évolution du système d'une étape à l'autre. L'élève doit être capable de :

• Construire un arbre de probabilité représentant la situation à l'étape $n$ et $n+1$.
• Utiliser la formule des probabilités totales pour établir une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$. On reconnaît ici une suite arithmético-géométrique.
• Manipuler la formule des probabilités conditionnelles inverses (type Bayes) pour remonter le temps (calculer $P(V_2)$ sachant $V_3$).

Raisonnement par récurrence et limites

Une fois la relation de récurrence établie, l'exercice exige une démonstration rigoureuse par récurrence pour valider la forme explicite de la suite. C'est un point méthodologique incontournable du programme de Terminale. L'étude de la limite de la suite géométrique associée permet d'interpréter le comportement du système sur le long terme (tendance vers une équirépartition des valeurs 0 et 1).

Interprétation algorithmique (Python)

La seconde partie évalue la compréhension de la logique de programmation. Il ne s'agit pas seulement de lire du code, mais de faire le lien entre :

• La fonction aléatoire rand() et la probabilité de l'événement contraire (changement de valeur).
• La structure des listes et des boucles en Python pour simuler une succession d'épreuves de Bernoulli.

Pour réussir, le candidat doit comprendre comment la machine simule le hasard et calculer la probabilité d'obtenir une liste spécifique en multipliant les probabilités de chaque transition successive (indépendance des tirages aléatoires conditionnés par l'état précédent).