Analyse du sujet : Probabilités et Statistiques Inférentielles

Cet exercice du Baccalauréat 2025 (Polynésie, Sujet 1) propose une étude complète des probabilités appliquées à un contexte de santé publique : les allergies alimentaires chez les enfants. Il balaye un large spectre du programme de Terminale, allant des calculs élémentaires sur les arbres pondérés jusqu'aux théorèmes de concentration.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser trois volets distincts :

• La modélisation par arbre pondéré : Savoir traduire un énoncé en langage probabiliste (événements, probabilités conditionnelles). Une difficulté classique apparaît ici : on donne la probabilité totale et une probabilité conditionnelle, et il faut déduire les branches manquantes en utilisant la formule des probabilités totales.
• La loi binomiale : Il est essentiel de savoir justifier l'usage de cette loi (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et d'utiliser la calculatrice pour déterminer des probabilités cumulées $P(X \geq k)$.
• Sommes de variables aléatoires et concentration : C'est la partie la plus technique. Elle requiert de connaître les propriétés de l'espérance et de la variance pour une moyenne d'échantillon ($M_n$). Enfin, l'application de l'inégalité de concentration (ou Bienaymé-Tchebychev) permet de majorer ou minorer une probabilité sans connaître la loi exacte de la variable.

Partie A : Probabilités conditionnelles

La première partie invite à construire un arbre de probabilité basé sur la répartition géographique (Zone Rurale/Urbaine) et l'état de santé. Le point clé réside dans l'utilisation de la partition de l'univers pour retrouver la probabilité d'être allergique sachant que l'on vit en zone urbaine, une donnée non explicite au départ.

Partie B : Échantillonnage et Loi Binomiale

On passe à l'étude d'un échantillon de 100 enfants. La variable aléatoire $X$ compte les succès (enfants allergiques). Les paramètres $n$ et $p$ sont à identifier clairement. La question demande de calculer la probabilité d'avoir "au moins" un certain nombre de cas, ce qui implique souvent de passer par l'événement contraire ou les fonctions de la calculatrice.

Partie C : Variable moyenne et Concentration

Cette dernière partie aborde les sommes de variables aléatoires indépendantes. L'élève doit interpréter la variable $M_{20}$ comme l'âge moyen d'apparition des symptômes sur un échantillon. Le calcul de l'espérance et de la variance de cette moyenne est un prérequis pour appliquer l'inégalité de concentration. Cette inégalité permet de justifier qu'il est très probable que la moyenne observée soit proche de l'espérance théorique.