Analyse de l'Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (Amérique du Nord 2025 - Sujet 2)

Cet exercice, issu du Sujet 2 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 pour la zone Amérique du Nord, propose un tour d'horizon complet des notions de géométrie dans l'espace. Il est structuré en deux parties distinctes qui testent la polyvalence des candidats : une approche purement vectorielle dans un cube (Partie A) et une approche analytique dans un repère orthonormé (Partie B). Le format sous forme d'affirmations à vérifier demande une rigueur démonstrative exemplaire.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice classique de géométrie, les élèves doivent maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale.

1. Manipulation vectorielle sans coordonnées (Partie A)

Dans la première partie, l'espace de travail est un cube. Ici, point de coordonnées explicites, mais une nécessité de visualiser l'espace et d'utiliser la décomposition vectorielle.

• Relation de Chasles : Elle est indispensable pour décomposer les vecteurs (comme pour l'affirmation sur le vecteur JH) en passant par des chemins connus constitués par les arêtes du cube.
• Bases de l'espace : L'élève doit savoir ce qu'est une base en dimension 3. Il s'agit de vérifier si trois vecteurs sont coplanaires ou non. La maîtrise de la lecture graphique dans le cube est ici un atout pour intuiter la réponse avant de la formaliser.
• Produit scalaire géométrique : Le calcul de produits scalaires sans coordonnées repose souvent sur la projection orthogonale ou la décomposition en vecteurs orthogonaux (les arêtes du cube formant un repère naturel).

2. Géométrie analytique (Partie B)

La seconde partie bascule dans un repère orthonormé, nécessitant une aisance avec les équations et les systèmes.

• Vecteurs normaux et directeurs : La clé de voûte de cette partie est la capacité à extraire instantanément un vecteur normal d'une équation cartésienne de plan ($ax+by+cz+d=0$) et un vecteur directeur d'une représentation paramétrique de droite.
• Positions relatives Droite / Plan : Pour vérifier le parallélisme ou l'intersection, il faut tester l'orthogonalité entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan via le produit scalaire.
• Plans parallèles : Comprendre que deux plans parallèles partagent le même vecteur normal (ou un vecteur colinéaire) permet de valider ou réfuter rapidement des équations cartésiennes.
• Distance d'un point à un plan : L'application directe de la formule de la distance est requise. C'est un point "calculatoire" où la précision est de mise pour ne pas faire d'erreur de signe ou de simplification de racine carrée.
• Coplanarité de deux droites : C'est souvent la question la plus délicate. Il faut déterminer si les droites sont sécantes, strictement parallèles (coplanaires) ou non coplanaires. Cela implique souvent la résolution d'un système d'équations paramétriques ou l'étude des vecteurs directeurs et du vecteur reliant un point de chaque droite.

En résumé, cet exercice 3 du sujet 2 Amérique du Nord 2025 est un excellent test de synthèse. Il ne suffit pas de connaître ses formules, il faut savoir choisir l'outil adapté (décomposition ou coordonnées) selon le contexte de l'énoncé.