Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 1 de Nouvelle-Calédonie 2022 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui couvre l'ensemble du thème des probabilités, depuis l'utilisation d'arbres pondérés jusqu'à la loi binomiale. Pour réussir ce type d'exercice, il est crucial de maîtriser la lecture des données et les calculs associés sans tomber dans les pièges classiques des QCM.

1. Arbres pondérés et Probabilités conditionnelles

La première partie de l'exercice modélise un système de transmission de bits. La compétence clé ici est la capacité à traduire un énoncé littéral en un arbre de probabilités complet. Il faut savoir distinguer :

• La probabilité d'un événement élémentaire (ex: $P(E_0)$).
• La probabilité conditionnelle (ex: $P_{E_0}(R_1)$), qui se lit sur les branches secondaires de l'arbre.
• La probabilité de l'intersection (ex: $P(E_0 \cap R_0)$), qui se calcule en multipliant les probabilités le long d'un chemin.

L'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable pour calculer la probabilité d'un événement final (ici $R_0$ ou $R_1$) en sommant les contributions de chaque chemin menant à cet événement.

2. Inversion du conditionnement

Une question classique demande de calculer une probabilité conditionnelle « inversée » par rapport à l'ordre chronologique de l'arbre (calculer la probabilité de la cause sachant l'effet). Il faut appliquer rigoureusement la définition : $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

3. Répétition d'épreuves et Loi Binomiale

La seconde partie de l'exercice bascule sur la transmission d'octets (messages de 8 bits) et la répétition de ces transmissions. Les mots-clés « transmission successive » et « de façon indépendante » doivent immédiatement évoquer un schéma de Bernoulli et la loi binomiale.

Les points à maîtriser sont :

• Identifier les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès).
• Calculer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès (utilisation de la calculatrice ou de la formule avec les coefficients binomiaux).
• Gérer les événements contraires, notamment pour calculer la probabilité « d'au moins un succès » ($1 - P(\text{aucun succès})$).

4. Recherche de seuil

La dernière question demande de déterminer une valeur $N$ minimale ou maximale pour satisfaire une inéquation sur les probabilités (du type $p^N \ge 0,1$). Bien que la résolution par logarithme soit la méthode algébrique standard, dans le cadre d'un QCM, tester les valeurs proposées est souvent une stratégie rapide et efficace.