Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet 1 de Métropole (session de septembre 2022) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie un large spectre du programme de Terminale Spécialité Mathématiques. Pour réussir ce type d'exercice, il est crucial de maîtriser plusieurs notions fondamentales et de savoir vérifier rapidement ses résultats, parfois sans rédaction détaillée.

Analyse de fonctions et Exponentielle

La première question demande de déterminer une asymptote horizontale. L'élève doit être capable de calculer la limite d'une fonction rationnelle faisant intervenir l'exponentielle en $+\infty$, souvent en factorisant par le terme prépondérant pour lever une forme indéterminée.

Convexité et lecture graphique

La seconde question fait appel à la lecture graphique de la dérivée seconde ($f''$). La compétence clé réside dans le lien entre le signe de $f''$ et la convexité de $f$. Il faut se rappeler que :

• Si $f'' > 0$, la fonction est convexe.
• Si $f'' < 0$, la fonction est concave.
• Si $f''$ s'annule en changeant de signe, la courbe admet un point d'inflexion.

Suites numériques

Deux questions portent sur les suites. La première nécessite de reconnaître une suite géométrique via une suite auxiliaire. Il faut savoir manipuler la relation de récurrence pour exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. La seconde application concerne le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). L'élève doit savoir calculer les limites des bornes encadrantes pour déduire celle de la suite $(u_n)$.

Calcul intégral et Primitives

L'exercice demande d'identifier une primitive d'une fonction de la forme $x^2 \ln(x)$. Bien que l'intégration par parties soit une méthode de résolution, en QCM, la méthode la plus efficace est souvent de dériver les propositions fournies pour retrouver la fonction originale $f(x)$.

Calcul algébrique

Enfin, une maîtrise des règles de calcul sur la fonction exponentielle est requise pour simplifier des fractions contenant des termes en $e^{-x}$. Savoir multiplier numérateur et dénominateur par $e^x$ est une astuce classique pour éliminer les exposants négatifs.