Analyse de l'exercice : un QCM transversal

Cet exercice 2 du sujet de Madagascar (Sujet 1) de l'épreuve de spécialité mathématiques 2022 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format exige non seulement de connaître ses formules sur le bout des doigts, mais aussi de savoir les appliquer rapidement pour discriminer les fausses pistes des réponses exactes. Il couvre un large spectre du programme, allant des suites numériques à l'étude fine de fonctions logarithmiques.

Compétences et clés de réussite

1. Modélisation par les suites géométriques

La première question demande de modéliser une situation concrète (diminution de volume) par une suite. La clé est d'identifier le coefficient multiplicateur associé à une baisse en pourcentage. La résolution de l'inéquation résultante $q^n < \text{seuil}$ nécessite souvent l'utilisation du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $n$ située en exposant.

2. Propriétés algébriques du logarithme

Pour manipuler des expressions du type $f(2x)$ avec des fonctions logarithmes, il est impératif de maîtriser la propriété fondamentale $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$. Une erreur classique consiste à penser que le logarithme est une application linéaire ($f(kx) = kf(x)$), ce qui est faux.

3. Étude asymptotique et limites

L'analyse des limites aux bornes de l'ensemble de définition permet de déterminer la présence d'asymptotes horizontales ou verticales. Ici, il faut être vigilant sur les formes indéterminées et les croissances comparées, bien que l'expression proposée se traite souvent par calcul direct ou simplification algébrique.

4. Analyse de fonctions : Tangentes et Convexité

La seconde partie de l'exercice se concentre sur une fonction $h$ mêlant polynôme et logarithme. Les compétences requises sont :

• Équation de la tangente : Appliquer rigoureusement la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici, l'abscisse $a$ est particulière ($\sqrt{\text{e}}$), ce qui demande de l'aisance avec les puissances et les racines.
• Convexité et points d'inflexion : Le point d'inflexion se caractérise par un changement de convexité, ce qui revient mathématiquement à chercher où la dérivée seconde $h''$ s'annule en changeant de signe. Il faut donc savoir dériver deux fois la fonction donnée.

5. Monotonie des suites (Question subsidiaire)

Enfin, pour l'étude de la suite arithmético-géométrique proposée, la méthode classique consiste souvent à calculer les premiers termes pour émettre une conjecture ou à étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. La reconnaissance du type de suite permet d'anticiper son comportement asymptotique et sa monotonie.