Analyse de l'exercice : Probabilités et Station de Ski

Cet exercice de mathématiques, tiré du Baccalauréat 2022 (Zone Madagascar, Sujet 1), est un classique incontournable pour les élèves de Terminale spécialité Maths. Il aborde de manière concrète la modélisation probabiliste à travers un scénario de gestion de forfaits de ski (Junior/Senior) et d'options coupe-file. L'exercice est structuré en deux parties indépendantes, permettant de tester successivement les compétences sur les probabilités conditionnelles et sur les variables aléatoires discrètes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels du programme :

• Modélisation par un arbre pondéré : La première étape cruciale consiste à traduire les données textuelles (pourcentages) en un arbre de probabilité. Il faut distinguer soigneusement les probabilités simples (ex: 20% de forfaits JUNIOR) des probabilités conditionnelles (ex: parmi les JUNIOR, 6% prennent l'option). Une erreur ici se répercutera sur toute la partie A.
• Formule des probabilités totales : L'exercice demande de calculer la probabilité globale d'un événement (choisir l'option coupe-file). L'élève doit savoir identifier les chemins de l'arbre menant à cet événement et sommer leurs probabilités respectives (intersections).
• Probabilités conditionnelles inverses : Une question classique de type « sachant que le skieur a pris l'option, quelle est la probabilité qu'il soit Senior ? » nécessite d'appliquer la définition de la probabilité conditionnelle $P_B(A) = P(A \cap B) / P(B)$.
• Justification de la loi binomiale : Dans la partie B, il est fondamental de reconnaître les critères d'une loi binomiale : répétition d'une épreuve de Bernoulli identique et indépendante (tirage avec remise ou assimilé). Il faut préciser les paramètres $n$ (nombre d'essais) et $p$ (probabilité du succès).
• Calculs sur la loi binomiale :
  • Pour calculer la probabilité d'« au moins un » succès ($P(X \ge 1)$), l'astuce incontournable est de passer par l'événement contraire : $1 - P(X = 0)$. Cela évite des calculs longs et fastidieux.
  • La notion d'« au plus un » ($P(X \le 1)$) demande de sommer les probabilités pour $k=0$ et $k=1$.
• Espérance mathématique : Enfin, le calcul de l'espérance $E(X) = n \times p$ pour une loi binomiale permet d'interpréter le nombre moyen de skieurs concernés sur un grand nombre d'échantillons.

En somme, cet exercice 1 du sujet Madagascar 2022 est un excellent entraînement pour consolider les bases des probabilités. La rigueur dans la notation des événements et l'utilisation précise de la calculatrice pour les coefficients binomiaux sont les garants d'une note maximale.