Analyse de l'exercice : Probabilités et Contrôle Qualité

Cet exercice de mathématiques, tiré du Baccalauréat 2022 pour la zone Centres Étrangers (Sujet 1), propose une mise en situation classique autour du contrôle qualité dans une usine de lunettes. Il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des concepts probabilistes fondamentaux ainsi que la modélisation par des lois discrètes.

Compétences et clés de réussite

1. Lecture et complétion d'un tableau à double entrée

La première partie de l'exercice repose sur l'utilisation d'un tableau de contingence (ou tableau croisé). La clé de la réussite réside ici dans la traduction correcte des données textuelles en termes mathématiques. L'élève doit identifier que "ne présente aucun des deux défauts" correspond à l'intersection des événements contraires ($\overline{A} \cap \overline{B}$). Une fois cette valeur placée, le reste du tableau se complète par de simples soustractions, en utilisant les probabilités totales $P(A)$ et $P(B)$ fournies.

2. Manipulation des événements et Indépendance

Les questions suivantes mobilisent les formules classiques des probabilités :

• L'union d'événements : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• L'indépendance stochastique : Pour prouver ou réfuter l'indépendance, il est impératif de comparer $P(A \cap B)$ avec le produit $P(A) \times P(B)$.
• Les probabilités conditionnelles : Savoir calculer $P_A(B)$ en utilisant la définition $P(A \cap B) / P(A)$.

3. Modélisation par la Loi Binomiale

La partie B introduit une variable aléatoire $X$ dans le cadre d'un prélèvement avec remise. C'est le signal typique pour l'utilisation de la loi binomiale. Les points essentiels pour obtenir tous les points sont :

• La justification : Il faut explicitement mentionner la répétition d'une épreuve de Bernoulli (succès/échec) de manière identique et indépendante.
• Les paramètres : Identifier clairement $n$ (taille de l'échantillon) et $p$ (probabilité du succès, ici le défaut T1).
• Les calculs : Savoir utiliser la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ ou les commandes de la calculatrice, et calculer l'espérance mathématique $E(X) = n \times p$ pour interpréter la moyenne.

Cet exercice est un excellent entraînement car il couvre une large part du programme de probabilités de Terminale, sans présenter de pièges calculatoires majeurs, mais exigeant une rigueur dans les notations et les justifications.