Analyse de l'Exercice 4 : Suites Numériques et Modélisation - Bac 2022 Asie Sujet 2

Cet exercice du Baccalauréat de mathématiques, session 2022 pour la zone Asie (Sujet 2), propose une application classique des suites numériques dans un contexte de modélisation biologique. Il s'agit d'étudier l'évolution d'une population de bactéries à travers une suite définie par récurrence de la forme $p_{n+1} = f(p_n)$. L'exercice mêle calcul algébrique, raisonnement logique et programmation Python.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale, notamment l'étude de la convergence des suites et la traduction d'algorithmes mathématiques en langage informatique.

• Compréhension de la modélisation : La première partie demande de manipuler la suite pour calculer les premiers termes ($p_1$ et $p_2$). Il est crucial de bien comprendre le lien entre l'indice $n$ et le contexte réel (générations de bactéries) pour interpréter correctement les résultats et émettre des conjectures pertinentes sur le sens de variation.
• Le raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'analyse mathématique de ce sujet. L'élève doit démontrer une inégalité multiple ($0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant 0,5$). Cette démonstration se fait en trois étapes rigoureuses : l'initialisation, l'hérédité (en utilisant la croissance de la fonction associée sur l'intervalle donné) et la conclusion. La maîtrise de l'hérédité est ici déterminante pour prouver à la fois la majoration et la croissance de la suite.
• Théorème de convergence monotone : Une fois la croissance et la majoration établies, il faut invoquer le théorème de convergence monotone pour justifier l'existence d'une limite finie. C'est un point de cours incontournable.
• Calcul de limites et équations : La recherche de la valeur exacte de la limite $L$ nécessite de résoudre l'équation du point fixe $f(L) = L$. Cela conduit ici à une équation du second degré ($0,7x^2 - x + 0,3 = 0$). Il faut savoir calculer le discriminant et choisir la racine cohérente avec les conditions initiales et les bornes établies précédemment (la limite ne peut pas dépasser 0,5).
• Algorithmique et Python : La dernière question évalue la capacité à traduire la relation de récurrence en une fonction Python. Il faut identifier les variables à initialiser, définir la borne de la boucle for et transcrire la formule mathématique $p_{n+1} = 0,3 + 0,7p_n^2$ en syntaxe Python, tout en gérant l'ajout des valeurs dans une liste.

En résumé, cet exercice 4 du sujet Asie 2 est un excellent entraînement pour vérifier la solidité des acquis sur les suites récurrentes non linéaires et leur étude asymptotique.